2008年全国统一高考理科数学试卷（上海卷）

不等式 $\left|x-1\right|<1$的解集是.

若集合 $A＝\left\{x\right|x\le 2\}、B＝\{x|x\ge a\}$满足 $A\cap B＝\left\{2\right\}$，则实数 $a＝$.

若复数 $z$满足 $z$＝ $i\left(2-z\right)$（ $i$是虚数单位），则 $z$＝.

若函数 $f\left(x\right)$的反函数为 $f^{-1}\left(x\right)＝x2(x>0）$，则 $f\left(4\right)＝$.

函数 $f\left(x\right)=\sin x+\sin (+x)$的最大值是.

在平面直角坐标系中,从六个点: $A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)$中任取三个,这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).

设函数 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上的奇函数，若当 $x\in \left(0,+\infty \right)$时， $f\left(x\right)={\log }_{10}\left(x\right)$，则满足 $f\left(x\right)>0$的 $x$的取值范围是 　　　　　　　　　　　　 .

已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7, $a,b$,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则 $a,b$的取值分别是.

某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 $h_1$、 $h_2$₂，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ${\theta }_1$、 ${\theta }_2$，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.

方程 $x^2+x-1=0$的解可视为函数 $y=x^3+a$的图像与函数 $y=\frac{x}{4}$的图像交点的横坐标，若 $x^4+ax-4=0$的各个实根 $x_1$， $x_2$，…， $x_k$( $k$≤4)所对应的点( $x_i$)（ $i＝1,2,\dots ,k$）均在直线 $y=x$的同侧，则实数 $a$的取值范围是.

组合数 $C(n>r\ge 1,n,r\in Z)$恒等于（）

给定空间中的直线 $l$及平面 $a$，条件"直线 $l$与平面 $a$内无数条直线都垂直"是"直线 $l$与平面 $a$垂直"的（）条件

如图，在平面直角坐标系中， $\Omega$是一个与 $x$轴的正半轴、 $y$轴的正半轴分别相切于点 $C$、 $D$的定圆所围成区域（含边界）， $A$、 $B$、 $C$、 $D$是该圆的四等分点，若点 $P(x,y)$、 $P`(x`,y`)$ 满足 $x\le x`$且 $y\ge y`$，则称 $P$优于 $P`$，如果 $\Omega$中的点 $Q$满足：不存在 $\Omega$中的其它点优于 $Q$，那么所有这样的点 $Q$组成的集合是劣弧（ ）

如图,在棱长为2的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中, $E$ 是 $B{C}_1$的中点,求直线 $DE$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小(结果用反三角函数表示).

如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 ${120}^{°}$的扇形 $AOB$ ,小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处,且小区里有一条平行于 $BO$ 的小路 $CD$ ,已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了10分钟,从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径 $OA$ 的长(精确到1米).

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-y^2=1$， $P$为 $C$上的任意点.
（1）求证：点 $P$到双曲线 $C$的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点 $A$的坐标为 $(3,0)$，求 $\left|PA\right|$的最小值.

已知函数 $f\left(x\right)=2^x-\frac{1}{2^x}$.
（1）若 $f\left(x\right)=2$，求 $x$的值；
（2）若 $2^{t}f\left(2t\right)+mf\left(t\right)\ge 0$对于 $t\in [1,2]$恒成立，求实数 $m$的取值范围.

设 $P(a,b)(b\ne 0)$是平面直角坐标系 $xOy$中的点， $l$是经过原点与点 $(1,b)$的直线，记 $Q$是直线 $l$与抛物线 $x^2=2py(p\ne 0)$的异于原点的交点
（1）若 $a=1,b=2,p=2$，求点 $Q$的坐标；
（2）若点 $P(a,b)(ab\ne 0)$在椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$上， $p=\frac{1}{2ab}$，求证：点 $Q$落在双曲线 $4x^2-4y^2=1$上；
（3）若动点 $P(a,b)$满足 $ab\ne 0$， $p=\frac{1}{2ab}$，若点 $Q$始终落在一条关于 $x$轴对称的抛物线上，试问动点 $P$的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

已知以 $a_1$为首项的数列 $\left\{a_n\right\}$满足：
（1）当 $a_1＝1$， $c＝1$， $d＝3$时，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）当 $0＜a_1＜1$， $c＝1$， $d＝3$时，试用 $a_1$表示数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $100$项的和 $S_{100}$；
（3）当 $0＜a_1＜m$（ $m$是正整数）， $c＝1$， $d\ge 3m$时，求证：数列 $a_2$， $a_{3m+2}$， $a_{6m+2}$， $a_{9m+2}$成等比数列当且仅当 $d＝3m$.

若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$满足 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=1,\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=2$,且 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$的夹角为,则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=$.

若数列 $\left\{a_n\right\}$是首项为1,公比为 $a=\frac{3}{2}$的无穷等比数列,且 $\left\{a_n\right\}$各项的和为 $a$,则 $a$的值是（）