已知以 $a_1$为首项的数列 $\left\{a_n\right\}$满足：
（1）当 $a_1＝1$， $c＝1$， $d＝3$时，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）当 $0＜a_1＜1$， $c＝1$， $d＝3$时，试用 $a_1$表示数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $100$项的和 $S_{100}$；
（3）当 $0＜a_1＜m$（ $m$是正整数）， $c＝1$， $d\ge 3m$时，求证：数列 $a_2$， $a_{3m+2}$， $a_{6m+2}$， $a_{9m+2}$成等比数列当且仅当 $d＝3m$.