全国重点高中提前招生真题过关（三）

在同一平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2$与一次函数 $y=\mathit{bx}+c$的图象如下图所示，则二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象可能是（ ）

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$的图象如图所示，点 $P$在 $x$轴的正半轴上，且 $\mathit{OP}=1$，设 $M=\mathit{ac}\left(a+b+c\right)$，则 $M$的取值范围为（ ）

如图所示，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a,b,c$为常数， $a\ne 0)$经过点 $\left(2,0\right)$，且对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$，有下列结论:① $\mathit{abc}>0$；② $a+b>0$；③ $4a+2b+3c<0$；④无论 $a,b,c$取何值，抛物线一定经过 $\left(\frac{c}{2a},0\right);$⑤ $4a{m}^2+4bm-b⩾0$.其中正确的结论有（ ）

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$的图象如图所示，有下列结论:① $\mathit{abc}>0$；② $4a-2b+c<0$；③ $a-b⩾x\left(\mathit{ax}+b\right)$；④ $3a+c<0$，正确的结论有（ ）

直线 $l$过点 $\left(0,4\right)$且与 $y$轴垂直，若二次函数 $y={(x-a)}^2+{(x-2a)}^2+{(x-3a)}^2-2a^2+a$（其中 $x$是自变量）的图象与直线 $l$有两个不同的交点，且其对称轴在 $y$轴右侧，则 $a$的取值范围是（ ）

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$的图象如图所示，有下列 $5$个结论:① $\mathit{abc}>0$；② $b^2<4\mathit{ac}$；③ $2c<3b$；④ $a+2b>m\left(\mathit{am}+b\right)\left(m\ne 1\right)$；⑤若方程 $\left|a{x}^2+\mathit{bx}+c\right|=1$有四个根，则这四个根的和为 $2$.其中正确的结论有（ ）

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a,b,c$是常数， $a\ne 0)$经过点 $\left(-1,-1\right),\left(0,1\right)$，当 $x=-2$时，与其对应的函数值 $y>1$.有下列结论:① $\mathit{abc}>0$；②关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c-3=0$有两个不等的实数根；③ $a+b+c>7$.其中，正确结论的个数是（ ）

抛物线 $y=a{x}^2$与直线 $x=1,x=2,y=1,y=2$围成的正方形有公共点，则实数 $a$的取值范围是（ ）

如图是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的部分图象，图象过点 $\left(3,0\right)$，对称轴为直线 $x=$1，有下列四个结论:① $\mathit{abc}>0$；② $a-b+c=0$；③ $y$的最大值为 $3$；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$有实数根.其中正确的为＿＿＿＿＿. （将所有正确结论的序号都填入）.

如图所示，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于点 $A\left(-1,0\right)$，与 $y$轴的交点 $B$在 $\left(0,2\right)$与 $\left(0,3\right)$之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x=2$.下列结论:① $\mathit{abc}<0$；② $9a+3b+c>0$；③若点 $M\left(\frac{1}{2},y_1\right)$，点 $N\left(\frac{5}{2},y_2\right)$是函数图象上的两点，则 $y_1<y_2$；④ $-\frac{3}{5}<a<-\frac{2}{5}$.其中正确的结论有＿＿＿＿＿.（填结论序号）.

已知二次函数 $y=x^2-x+a$的图象与 $x$轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 $5$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知函数 $y=x^2+x-1$在 $m⩽x⩽1$上的最大值是 $1$，最小值是 $-\frac{5}{4}$，则 $m$的取值范围为＿＿＿＿＿.

抛物线 $y=x^2-2x+3$绕其顶点旋转 ${180}^{\circ }$所得抛物线的解析式为＿＿＿＿＿.

关于抛物线 $y=a{x}^2-2x+1\left(a\ne 0\right)$，给出下列结论:①当 $a<0$时，抛物线与直线 $y=2x+2$没有交点；②若抛物线与 $x$轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点 $\left(0,0\right)$与 $\left(1,0\right)$之间；③若抛物线的顶点在点 $\left(0,0\right),\left(2,0\right),\left(0,2\right)$围成的三角形区域内（包括边界），则 $a⩾1$.其中正确结论的序号是＿＿＿＿＿.

将二次函数 $y=-2{(x-1)}^2-1$的图象先向右平移一个单位，再沿 $x$轴翻折到第一象限，然后向右平移一个单位，再沿 $y$轴翻折到第二象限 $\cdots \cdots$以此类推，如果把向右平移一个单位再沿坐标轴翻折一次记作 $1$次变换，那么二次函数 $y=-2{(x-1)}^2-1$的图象经过 $2022$次变换后，得到图象的函数解析式为＿＿＿＿＿.

已知二次函数 $y=x^2+2\left(m+2n+1\right)x+\left(m^2+4n^2+50\right)$的图象在 $x$轴的上方，则满足条件的正整数对 $\left(m,n\right)$的个数为＿＿＿＿＿.

在平面直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，抛物线 $y=m{x}^2-2\mathit{mx}-3\left(m\ne 0\right)$与 $x$轴交于 $A\left(3,0\right),B$两点.

（1）求抛物线的解析式及点 $B$的坐标；

（2）当 $-2<x<3$时的函数图象记为 $G$，求此时函数 $y$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象 $G$在 $x$轴上方的部分沿 $x$轴翻折，图象 $G$的其余部分保持不变，得到一个新图象 $M$.若经过 $C\left(4,2\right)$点的直线 $y=\mathit{kx}+b\left(k\ne 0\right)$与图象 $M$在第三象限内有两个公共点，结合图象，求 $b$的取值范围.

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $\left(0,-2\right)$，当 $x<-4$时， $y$随 $x$的增大而增大，当 $x>-4$时， $y$随 $x$的增大而减小.设 $r$是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$.

（1）求 $b,c$的值；

（2）求证: $\mathrm{}{r}^4-2r^2+1=60r^2$；

（3）以下结论: $m<1,m=1,m>1$，你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.

已知二次函数 $y=x^2-x-2$及实数 $a>-2$.求:

（1）函数在 $-2<x⩽a$的最小值；

（2）函数在 $a⩽x⩽a+2$的最小值.

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的一部分如图所示，试确定 $a$的取值范围.

已知函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{13}{2}$，当 $a⩽x⩽b$时， $y$的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求 $a,b$的值.

已知 $x,y,z$均为非负数且满足 $x=y+z-1=4-y-2x$.

（1）用 $x$表示 $y,z$；

（2）求 $u=2x^2-2y+z$的最小值.

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $\left(0,4\right),\left(2,-2\right)$两点，当抛物线在轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线的解析式.