2016年全国统一高考文科数学试卷（全国Ⅲ卷）

设集合 $A=\left\{0，2，4，6，8，10\right\}$ ， $B=\left\{4，8\right\}$ ，则 ${\complement }_{A}B=$ （　　）

若 $z=4+3i$ ，则 $\frac{\vec{z}}{\left|z\right|}$ =（　　）

已知向量 $\overrightarrow{\mathit{BA}}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ ， $\overrightarrow{\mathit{BC}}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$ ，则 $\angle \mathit{ABC}=$ （　　）

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 $15℃$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $5℃$ ，下面叙述不正确的是（　　）

小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

若 $\mathit{tan\theta }=﹣\frac{1}{3}$ ，则 $\mathit{cos}2\theta =$ （　　）

已知 $a=2^{\frac{4}{3}}$ ， $b=3^{\frac{2}{3}}$ ， $c={25}^{\frac{1}{3}}$ ，则（　　）

执行如图程序框图，如果输入的 $a=4$ ， $b=6$ ，那么输出的 $n=$ （　　）

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $B=\frac{\pi }{4}$ ，BC边上的高等于 $\frac{1}{3}\mathit{BC}$ ，则 $\mathit{sinA}=$ （　　）

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）

在封闭的直三棱柱 $\mathit{ABC}﹣A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为V的球，若 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ， $A{A}_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是（　　）

已知O为坐标原点，F是椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且 $\mathit{PF}\perp x$ 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

设x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}2x-y+1\ge 0\\ x-2y-1\le 0\\ x\le 1\end{array}\right.$ ，则 $z=2x+3y﹣5$的最小值为________．

函数 $y=\mathit{sinx}﹣\sqrt{3}\mathit{cosx}$的图象可由函数 $y=2\mathit{sinx}$的图象至少向右平移________个单位长度得到．

已知直线 $l：x﹣\sqrt{3}y+6=0$与圆 $x^2+y^2=12$交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=________．

已知 $f\left(x\right)$ 为偶函数，当 $x\le 0$ 时， $f（x）=e^{﹣x﹣1}﹣x$ ，则曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(1，2\right)$ 处的切线方程是________．

已知各项都为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_n^2\mathit{﹣（}2a_{n+1}﹣1）a_n﹣2a_{n+1}=0$

（1）求 $a_2\mathit{ }$ ， $a_3$ ；

（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{y}\mathrm{i}=9.32$ ， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{i}=40.17$ ， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}$ $=0.55$ ， $\sqrt{7}\approx 2.646$ ．

参考公式： $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}}$ ，回归方程 $\stackrel{\wedge }{y}=\stackrel{\wedge }{a}+\stackrel{\wedge }{b}t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{\wedge }{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2}$ ， $\stackrel{\wedge }{a}=\stackrel{-}{y}-\stackrel{\wedge }{b}\stackrel{-}{t}$ ．

如图，四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $PA\mathit{\perp }\mathit{底面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$ ，M为线段AD上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$ ，N为PC的中点．

（1）证明 $\mathit{MN}\parallel \mathrm{平面}PAB$；

（2）求四面体 $N﹣\mathit{BCM}$ 的体积．

已知抛物线 $C：y^2=2x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $l_1$ ， $l_2$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $\mathit{AR}\parallel \mathit{FQ}$ ；

（2）若 $△\mathit{PQF}$ 的面积是 $△\mathit{ABF}$ 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

设函数 $f（x）=\mathit{lnx}﹣x+1$．

（1）讨论 $f（x）$的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ $\frac{x-1}{\ln x}$ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x ．

[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.（\alpha \mathrm{为参数}）$ ，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\mathit{\rho sin}（\theta +\frac{\pi }{4}）=2\sqrt{2}$ ．

（1）写出 $C_1$ 的普通方程和 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点P在 $C_1$ 上，点Q在 $C_2$ 上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$ 的最小值及此时P的直角坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=\left|2x﹣a\right|+a$ ．

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f（x）\le 6$ 的解集；

（2）设函数 $g（x）=\left|2x﹣1\right|$ ，当 $x\in R$ 时， $f（x）+g（x）\ge 3$ ，求a的取值范围．