初中数学中心对称试题

用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为 $a$，小正方形地砖面积为 $b$，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 $\mathit{ABCD}$．则正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为　　．（用含 $a$， $b$的代数式表示）

如图，点 $O$为矩形 $\mathit{ABCD}$的对称中心，点 $E$从点 $A$出发沿 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，移动到点 $B$停止，延长 $\mathit{EO}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$，则四边形 $\mathit{AECF}$形状的变化依次为 $($　　 $)$

A．平行四边形 $\to$正方形 $\to$平行四边形 $\to$矩形

B．平行四边形 $\to$菱形 $\to$平行四边形 $\to$矩形

C．平行四边形 $\to$正方形 $\to$菱形 $\to$矩形

D．平行四边形 $\to$菱形 $\to$正方形 $\to$矩形

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$的斜平移，如点 $P(2,3)$经1次斜平移后的点的坐标为 $(3,5)$，已知点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）分别写出点 $A$经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$是直线 $l$上的一点，点 $A$关于点 $M$的对称点为点 $B$，点 $B$关于直线 $l$的对称点为点 $C$．

①若 $A$、 $B$、 $C$三点不在同一条直线上，判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$由点 $A$经 $n$次斜平移后得到，且点 $C$的坐标为 $(7,6)$，求出点 $B$的坐标及 $n$的值．

在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点 $O$称为极点；从点 $O$出发引一条射线 $\mathit{Ox}$称为极轴；线段 $\mathit{OP}$的长度称为极径．点 $P$的极坐标就可以用线段 $\mathit{OP}$的长度以及从 $\mathit{Ox}$转动到 $\mathit{OP}$的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 $P(3,60°)$或 $P(3,-300°)$或 $P(3,420°)$等，则点 $P$关于点 $O$成中心对称的点 $Q$的极坐标表示不正确的是 $($　　 $)$

A． $Q(3,240°)$B． $Q(3,-120°)$C． $Q(3,600°)$D． $Q(3,-500°)$

如图，点 $O$是矩形纸片 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $E$是 $\mathit{BC}$上一点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠后，点 $B$恰好与点 $O$重合．若 $\mathit{BE}=3$，则折痕 $\mathit{AE}$的长为　 　．

参照学习函数的过程与方法，探究函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以我们对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y=-\frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\dots$
$y=\frac{x-2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	$-3$	$-1$	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

② $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向　　平移　　个单位而得到；

③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

（3）设 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$是函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象上的两点，且 $x_1+x_2=0$，试求 $y_1+y_2+3$的值．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为： $A(-2,0)$， $B(1,2)$， $C(1,-2)$．已知 $N(-1,0)$，作点 $N$关于点 $A$的对称点 $N_1$，点 $N_1$关于点 $B$的对称点 $N_2$，点 $N_2$关于点 $C$的对称点 $N_3$，点 $N_3$关于点 $A$的对称点 $N_4$，点 $N_4$关于点 $B$的对称点 $N_5$， $\dots$，依此类推，则点 $N_{2020}$的坐标为　　．

如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A$，点 $B$，点 $O$均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．

（1）作点 $A$关于点 $O$的对称点 $A_1$；

（2）连接 $A_{1}B$，将线段 $A_{1}B$绕点 $A_1$顺时针旋转 $90°$得点 $B$对应点 $B_1$，画出旋转后的线段 $A_1{B}_1$；

（3）连接 $A{B}_1$，求出四边形 $\mathit{AB}{A}_1{B}_1$的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(1,3)$， $B(4,4)$， $C(2,1)$．

（1）把 $\mathit{\Delta ABC}$向左平移4个单位后得到对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$，请画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$绕原点 $O$旋转 $180°$后得到对应的△ $A_2{B}_2{C}_2$，请画出旋转后的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

（3）观察图形可知，△ $A_1{B}_1{C}_1$与△ $A_2{B}_2{C}_2$关于点 $($　　，　　 $)$中心对称．

在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形， $P$ 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 $P$ 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{5}$

C．

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

D．

$\sqrt{10}$

如图， $O$为菱形 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $\mathit{AB}=4$， $\angle \mathit{BAD}=120°$．若点 $E$、 $F$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{OE}$、 $\mathit{OF}$，则 $\mathit{OE}+\mathit{OF}$的最小值为　　．

如图，点 $O$是 $▱\mathit{ABCD}$的对称中心， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$， $E$、 $F$是 $\mathit{AB}$边上的点，且 $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$； $G$、 $H$是 $\mathit{BC}$边上的点，且 $\mathit{GH}=\frac{1}{3}\mathit{BC}$，若 $S_1$， $S_2$分别表示 $\mathit{\Delta EOF}$和 $\mathit{\Delta GOH}$的面积，则 $S_1$与 $S_2$之间的等量关系是　　．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$在第一象限，点 $B$， $C$的坐标为 $(2,1)$， $(6,1)$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，直线 $\mathit{AB}$交 $x$轴于点 $P$．若 $\mathit{\Delta ABC}$与△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$关于点 $P$成中心对称，则点 $A^{\text{'}}$的坐标为　　．

（年江西省南昌市）如图，正方形ABCD于正方形A₁B₁C₁D₁关于某点中心对称，已知A，D₁，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．

（1）求对称中心的坐标；
（2）写出顶点B，C，B₁，C₁的坐标．