如图，AD⊥BC，垂足为D．CD=1，AD=2，BD=4．
（1）求∠BAC的度数？并说明理由；
（2）P是边BC上一点，连结AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．
如图，在直角坐标系中，已知
、
、
、
，点P从C点出发，沿着折线C﹣D﹣A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于点G，连接OP、PG、OD．
（1）直接写出∠DCO的度数；
（2）当点P在线段CD上运动时，求△OPG的最小面积；
（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．
如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长为1，请在网格中按下列要求操作：
（1）以点A为其中的一个顶点，在图（1）中画一个面积等于3的格点直角三角形；
（2）以点A为其中的一个顶点，在图（2）中画一个面积等于
的格点等腰直角三角形．
已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，即OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OD=OE，且OB=OC。
（1）如图，若点O在BC上，求证：AB=AC；
（2）如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示（只需画图即可）。
在
中，AB= 20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．
（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
（2）若
，求出发几秒后，
为直角三角形？
（3）若
，当
的度数为多少时，
为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）．
在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，BC=10cm，点D在线段AC上，且CD=2cm，动点P从BA的延长线上距A点10cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动了
秒。
（1）求AD的长；
（2）直接写出用含有的代数式表示PE=_________；
（3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
如图，在直角坐标系
中，直线AB交
轴于A（2，0），交
轴负半轴于B（0，-10），C为x轴正半轴上一点，且OC=5OA．
（1）求△ABC的面积．
（2）延长BA到P（自己补全图形），使得PA=AB，过点P作PM⊥OC于M，求P点的坐标．
（3）如图，D是第三象限内一动点，直线BE⊥CD于E， OF⊥OD交BE延长线于F．当D点运动时,
的大小是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．
如图，直线
与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线
与x轴交于另一点A，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接AD，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）连结AP，请在y轴正半轴上找一点Q，使Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，并求出点Q的坐标．将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，若2DM=DN，求点M的坐标．
如图，给出四个等式：①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④∠B=∠C．现选取其中的三个，以两个作为已知条件，另一个作为结论．
（1）请你写出一个正确的命题，并加以证明；
（2）请你至少写出三个这样的正确命题．
数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E 、旗杆的
顶点A在同一直线上（如图1）．测量：人与标杆的距离DF=1m，人与旗杆的距离DB=16m，人的目高
和标杆的高度差EG=0．9m，人的高度CD=1．6m．
方案二：小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1．5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因
旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙
上的影高为2米（如图2）．
请你结合上述两个方案，分别画出符合题意的示意图，并求出旗杆的高度．
如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）用含有t的代数式表示PE= ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0<t<13）．
（1）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
（2）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时△CPM的形状；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式。
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