初中数学旋转的性质试题

如图，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点，且点 $P$到点 $A$、 $B$、 $C$的距离分别为 $2\sqrt{3}$、 $\sqrt{2}$、4，则正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为　    　．

如图，等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，将 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$，得到 $\mathit{BP}$，连结 $\mathit{CP}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}\perp \mathit{CP}$交 $\mathit{CP}$的延长线于点 $H$，连结 $\mathit{AP}$，则 $\angle \mathit{PAH}$的度数 $($　　 $)$

A．随着 $\theta$的增大而增大B．随着 $\theta$的增大而减小

C．不变D．随着 $\theta$的增大，先增大后减小

图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$（点 $A$与点 $B$重合），点 $O$是夹子转轴位置， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{OF}\perp \mathit{BD}$于点 $F$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}=1\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{BD}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CE}=\mathit{DF}$， $\mathit{CE}:\mathit{AE}=2:3$．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 $O$转动．

（1）当 $E$， $F$两点的距离最大时，以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形的周长是　　 $\mathit{cm}$．

（2）当夹子的开口最大（即点 $C$与点 $D$重合）时， $A$， $B$两点的距离为　　 $\mathit{cm}$．

如图，正三角形 $\mathit{ABC}$的边长为3，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕它的外心 $O$逆时针旋转 $60°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，则它们重叠部分的面积是 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}$B． $\frac{3}{4}\sqrt{3}$C． $\frac{3}{2}\sqrt{3}$D． $\sqrt{3}$

如图， $\mathit{\Delta ADE}$由 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$得到，且点 $B$的对应点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{AD}$， $\mathit{EC}$相交于点 $P$．

（1）求 $\angle \mathit{BDE}$的度数；

（2） $F$是 $\mathit{EC}$延长线上的点，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{DAC}$．

①判断 $\mathit{DF}$和 $\mathit{PF}$的数量关系，并证明；

②求证： $\frac{\mathit{EP}}{\mathit{PF}}=\frac{\mathit{PC}}{\mathit{CF}}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=1\mathit{cm}$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$逆时针旋转得到 $\mathit{Rt}$△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，使点 $C^{\text{'}}$落在 $\mathit{AB}$边上，连接 $B{B}^{\text{'}}$，则 $B{B}^{\text{'}}$的长度是 $($　　 $)$

A． $1\mathit{cm}$B． $2\mathit{cm}$C． $\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $2\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta DEC}$，使点 $B$的对应点 $E$恰好落在边 $\mathit{AC}$上，点 $A$的对应点为 $D$，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，则下列结论一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AC}=\mathit{DE}$B． $\mathit{BC}=\mathit{EF}$C． $\angle \mathit{AEF}=\angle D$D． $\mathit{AB}\perp \mathit{DF}$

综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$为正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$绕点 $B$按顺时针方向旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta CBE}\text{'}$（点 $A$的对应点为点 $C)$．延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CE}\text{'}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B{E}^{\text{'}}\mathit{FE}$的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$，请猜想线段 $\mathit{CF}$与 $F{E}^{\text{'}}$的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $\mathit{AB}=15$， $\mathit{CF}=3$，请直接写出 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}>90°$， $\mathit{BC}=5$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $90°$，点 $B$对应点 $B\text{'}$落在 $\mathit{BA}$的延长线上．若 $\sin \angle B\text{'}\mathit{AC}=\frac{9}{10}$，则 $\mathit{AC}=$　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=2$， $E$为边 $\mathit{AD}$上一个动点，连接 $\mathit{BE}$，取 $\mathit{BE}$的中点 $G$，点 $G$绕点 $E$逆时针旋转 $90°$得到点 $F$，连接 $\mathit{CF}$，则 $\mathit{\Delta CEF}$面积的最小值是 $($　　 $)$

A．4B． $\frac{15}{4}$C．3D． $\frac{11}{4}$

如图，将含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$放入平面直角坐标系，顶点 $A$、 $B$分别落在 $x$、 $y$轴的正半轴上， $\angle \mathit{OAB}=60°$，点 $A$的坐标为 $(1,0)$．将三角板 $\mathit{ABC}$沿 $x$轴向右作无滑动的滚动（先绕点 $A$按顺时针方向旋转 $60°$，再绕点 $C$按顺时针方向旋转 $90°\dots )$，当点 $B$第一次落在 $x$轴上时，则点 $B$运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=\sqrt{5}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$得到△ $A{B}^{\text{'}}C\text{'}$，连接 $B^{\text{'}}C$，则 $\sin \angle \mathit{ACB}\text{'}=$　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=4$，以 $\mathit{CD}$为直径作 $\odot O$．将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$

旋转，使所得矩形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{CD}\text{'}$的边 $A\text{'}B\text{'}$与 $\odot O$相切，切点为 $E$，边 $\mathit{CD}\text{'}$与 $\odot O$相交于点

$F$，则 $\mathit{CF}$的长为　　．