初中数学矩形的判定解答题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DC}>\mathit{AD}$，四个角的平分线 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$的交点分别是 $E$， $F$，过点 $E$， $F$分别作 $\mathit{DC}$与 $\mathit{AB}$间的垂线 $M{M}^{\text{'}}$与 $N{N}^{\text{'}}$，在 $\mathit{DC}$与 $\mathit{AB}$上的垂足分别是 $M$， $N$与 $M\text{'}$， $N\text{'}$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EFNM}$是矩形；

（2）已知： $\mathit{AE}=4$， $\mathit{DE}=3$， $\mathit{DC}=9$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图所示， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{CE}$的延长线于 $F$，且 $\mathit{AF}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证： $D$是 $\mathit{BC}$的中点；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，试判断四边形 $\mathit{AFBD}$的形状，并证明你的结论．

如图，△ ABC中， D是 BC边上一点， E是 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE的延长线于 F，且 AF＝ CD，连接 CF．

（1）求证：△ AEF≌△ DEB；

（2）若 AB＝ AC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论．

如图，等腰三角形 ABC中， BD， CE分别是两腰上的中线．

（1）求证： BD＝ CE；

（2）设 BD与 CE相交于点 O，点 M， N分别为线段 BO和 CO的中点，当△ ABC的重心到顶点 A的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN的形状，无需说明理由．

已知：如图，在中，，，，分别为垂足．

（1）求证：；

（2）求证：四边形是矩形．

如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．

（1）求证：；

（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．

第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

（1）在图5中，的度数是　　，的值是　　．

（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：　　．

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}>90°)$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ACD}$ ．

操作发现

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，分别延长 $\mathit{BC}$ 和 $\mathit{DC}\text{'}$ 交于点 $E$ ，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$ 的形状是 　 　；

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =2\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，连接 $\mathit{DB}$ ， $C\text{'}C$ ，得到四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ ，发现它是矩形，请你证明这个结论；

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 $\mathit{BC}=13\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=10\mathit{cm}$ ，然后提出一个问题：将△ $\mathit{AC}\text{'}D$ 沿着射线 $\mathit{DB}$ 方向平移 $\mathit{acm}$ ，得到△ $A\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连接 $\mathit{BD}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，使四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ 恰好为正方形，求 $a$ 的值，请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 在同一平面内进行一次平移，得到△ $A\text{'}C\text{'}D$ ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

（1）计算：；

（2）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是矩形．

问题发现

（1）如图（1），四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，则线段 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 的位置关系为 　 　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $F$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 的中点，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为底边，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 外部作等腰三角形 $\mathit{ABD}$ 和等腰三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{FD}$ ， $\mathit{FE}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $\mathit{FMAN}$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $\mathit{ABCD}$ 旋转 $60°$ ，得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，请直接写出 $\mathit{BD}\text{'}$ 的长度．

如图①，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当点为中点时，的形状为　　；

（3）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形的形状，并说明理由．

如图，菱形的对角线，相交于点，且，．求证：四边形是矩形．

（年云南省曲靖市）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是，tanα=，求四边形OBEC的面积．

（年江西省南昌市）（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，S_□ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′ 的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（    ）
A．平行四边形          B．菱形          C．矩形          D．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′ 的位置，拼成四边形AFF′D．
① 求证四边形AFF′D是菱形；
② 求四边形AFF′D两条对角线的长．