如图,已知是
的直径,
是
上的点,点
在
的延长线上,
.
(1)求证:是
的切线;
(2)若,
,求图中阴影部分的面积.
请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理
阿基米德 ,公元前 公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯 年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据 译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1, 和 是 的两条弦(即折线 是圆的一条折弦), , 是 的中点,则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点,即 .下面是运用"截长法"证明 的部分证明过程.证明:如图2,在 上截取 ,连接 , , 和 .
是 的中点,
.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图3,已知等边 内接于 , , 为 上一点, , 于点 ,则 的周长是 .
如图,在平面直角坐标系中,点,
的坐标分别为
,
,
,
,连接
,以
为边向上作等边三角形
.
(1)求点的坐标;
(2)求线段所在直线的解析式.
在中,
,
.点
是平面内不与点
,
重合的任意一点.连接
,将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
,连接
,
,
.
(1)观察猜想
如图1,当时,
的值是 ,直线
与直线
相交所成的较小角的度数是 .
(2)类比探究
如图2,当时,请写出
的值及直线
与直线
相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当时,若点
,
分别是
,
的中点,点
在直线
上,请直接写出点
,
,
在同一直线上时
的值.
探究
(1)如图①,在等腰直角三角形中,
,作
平分
交
于点
,点
为射线
上一点,以点
为旋转中心将线段
逆时针旋转
得到线段
,连接
交射线
于点
,连接
、
填空:
①线段、
的数量关系为 .
②线段、
的位置关系为 .
推广:
(2)如图②,在等腰三角形中,顶角
,作
平分
交
于点
,点
为
外部射线
上一点,以点
为旋转中心将线段
逆时针旋转
度得到线段
,连接
、
、
请判断(1)中的结论是否成立,并说明理由.
应用:
(3)如图③,在等边三角形中,
.作
平分
交
于点
,点
为射线
上一点,以点
为旋转中心将线段
逆时针旋转
得到线段
,连接
交射线
于点
,连接
、
.当以
、
、
为顶点的三角形与
全等时,请直接写出
的值.
如图,在等边三角形中,
,点
,
分别是边
,
的中点,点
,
同时沿射线
的方向以相同的速度运动,某一时刻分别运动到点
,
处,连接
,
,
,
.
(1)写出图1中的一对全等三角形;
(2)如图2所示,当点在线段
延长线上时,画出示意图,判断(1)中所写的一对三角形是否仍然全等,并说明理由;
(3)在点运动的过程中,若
是直角三角形,直接写出此时线段
的长度.
(1)发现:如图1,点 为线段 外一动点,且 , .
填空:当点 位于 时,线段 的长取得最大值,且最大值为 (用含 , 的式子表示)
(2)应用:点 为线段 外一动点,且 , ,如图2所示,分别以 , 为边,作等边三角形 和等边三角形 ,连接 , .
①请找出图中与 相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段 长的最大值.
(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点
的坐标为
,点
的坐标为
,点
为线段
外一动点,且
,
,
,请直接写出线段
长的最大值及此时点
的坐标.