初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$，点 $P$是这个菱形内部或边上的一点．若以 $P$， $B$， $C$为顶点的三角形是等腰三角形，则 $P$， $A(P$， $A$两点不重合）两点间的最短距离为　　 $\mathit{cm}$．

经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段 $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“和谐分割线”， $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形， $\mathit{\Delta CBD}$和 $\mathit{\Delta ABC}$相似， $\angle A=46°$，则 $\angle \mathit{ACB}$的度数为　　．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}$与 $\mathit{AC}$边上的高 $\mathit{BE}$交于点 $F$，且 $\angle \mathit{BAC}=45°$， $\mathit{BD}=6$， $\mathit{CD}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为　　．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4$， $\angle C=72°$， $D$是 $\mathit{AB}$中点，点 $E$在 $\mathit{AC}$上， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，则 $\cos A$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$B． $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$C． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{BA}$至点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\mathit{AD}$．连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{BCD}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{ED}//\mathit{BC}$，已知 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=1$，则 $\mathit{\Delta AED}$的周长为 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

在▱ABCD中， $\mathit{AD}＝8$，AE平分 $\angle \mathit{BAD}$交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且 $\mathit{EF}＝2$，则AB的长为（　　）

A．3B．5C．2或3D．3或5

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝∠ C＝90°， AB＞ CD， AD＝ AB+ CD．

（1）利用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明： AE⊥ DE；

②若 CD＝2， AB＝4，点 M， N分别是 AE， AB上的动点，求 BM+ MN的最小值．

在▱ ABCD中， AE平分∠ BAD交边 BC于 E， DF平分∠ ADC交边 BC于 F，若 AD＝11， EF＝5，则 AB＝ 　　．

如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB，垂足为 D， AF平分∠ CAB，交 CD于点 E，交 CB于点 F．若 AC＝3， AB＝5，则 CE的长为（　　）

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\frac{4}{3}$

C．

$\frac{5}{3}$

D．

$\frac{8}{5}$

如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则　　．

如图，已知线段 ，分别以 、 为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为 　　

A．

B．

C．

D．

如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（　　）

A．150°B．130°C．120°D．100°

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90°$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B\text{'}$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C\text{'}$ ．连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ；

②在①中所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$ 　 　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{BC}=1$ ， $\angle C=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到 $D$ ，使 $\mathit{CD}=1$ ，将斜边 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=1$ ， $\mathit{CD}=3$ ， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$ 为常数），求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．