初中数学三角形的面积试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}=c$，若 $\angle C=90°$，如图1，则有 $a^2+b^2=c^2$；若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时，小明猜想： $a^2+b^2>c^2$，理由如下：如图2，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{CB}$于点 $D$，设 $\mathit{CD}=x$．在 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$中， $A{D}^2=b^2-x^2$，在 $\text{Rt}\Delta \text{ADB}$中， $A{D}^2=c^2-{(a-x)}^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2+2\mathit{ax}$

$\because a>0$， $x>0$

$\therefore 2\mathit{ax}>0$

$\therefore a^2+b^2>c^2$

$\therefore$当 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时， $a^2+b^2>c^2$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $\mathit{\Delta ABC}$为钝角三角形时， $a^2+b^2$与 $c^2$的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $\mathit{BC}$边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．

三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 $($　　 $)$

A．中线B．角平分线C．高D．中位线

如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是 $m$， $n$，则 $m-n$等于 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．无法确定

如图，点 $P$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$上的一动点，矩形的两条边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是6和8，则点 $P$到矩形的两条对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$的距离之和是 $($　　 $)$

A．4.8B．5C．6D．7.2

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{AB}=5$， $D$为 $\mathit{BC}$边的中点，以 $\mathit{AD}$上一点 $O$为圆心的 $\odot O$和 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$均相切，则 $\odot O$的半径为　　．

已知等边三角形的边长为3，点 $P$为等边三角形内任意一点，则点 $P$到三边的距离之和为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$C． $\frac{3}{2}$D．不能确定

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．    ①

古希腊几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202--$约 $1261)$，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．     ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\mathit{ab}\right)}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{4}\right)}^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathit{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4})(\frac{1}{2}\mathit{ab}-\frac{a^2+b^2-c^2}{4})}=\sqrt{\frac{2\mathit{ab}+a^2+b^2-c^2}{4}·\frac{2\mathit{ab}-a^2-b^2+c^2}{4}}=\sqrt{\frac{{(a+b)}^2-c^2}{4}·\frac{c^2-{(a-b)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}·\frac{a+b-c}{2}·\frac{a+c-b}{2}·\frac{b+c-a}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $--$秦九韶公式．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{AC}=7$， $\odot O$内切于 $\mathit{\Delta ABC}$，切点分别是 $D$、 $E$、 $F$．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）求 $\odot O$的半径．

如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1， $\mathit{\Delta ABC}$在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将 $\mathit{\Delta ABC}$向右平移2个单位得到△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）画出将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $90°$得到的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

（3）求△ $A_1{B}_1{C}_1$与△ $A_2{B}_2{C}_2$重合部分的面积．

直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为　　．

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $\mathit{ME}\parallel \mathit{BC}$，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（0＜\mathit{AM}＜1）$，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△\mathit{MOA}}＝S_{△\mathit{DOE}}$．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $\mathit{MD}\parallel \mathit{AE}$；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为　　．

如图， $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(0,3)$ ，将线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90°$ 得到线段 $\mathit{BC}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OB}$ ，垂足为 $D$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）直接写出点 $C$ 的坐标，并求反比例函数的解析式；

（2）点 $P$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，当 $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积为3时，求点 $P$ 的坐标．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $P$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ． $\mathit{PF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ．若菱形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为20，面积为24，则 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

$\frac{24}{5}$

C．

6

D．

$\frac{48}{5}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A$ $(4,4)$ ， $B$ $(1,1)$ ， $C$ $(4,1)$ ．

（1）画出与 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_1{B}_1{C}_1$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $O_1$ 顺时针旋转 $90°$ 得到△ $A_2{B}_2{C}_2$ ， $A{A}_2$ 弧是点 $A$ 所经过的路径，则旋转中心 $O_1$ 的坐标为 　　；

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$ ．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形，延长 $\mathit{DA}$ 到点 $E$ ，使 $\mathit{AE}=\mathit{DA}$ ，连接 $\mathit{EB}$ ，点 $F_1$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $E{F}_1$ ， $B{F}_1$ ，得到△ $E{F}_{1}B$ ；点 $F_2$ 是 $C{F}_1$ 的中点，连接 $E{F}_2$ ， $B{F}_2$ ，得到△ $E{F}_{2}B$ ；点 $F_3$ 是 $C{F}_2$ 的中点，连接 $E{F}_3$ ， $B{F}_3$ ，得到△ $E{F}_{3}B$ ； $\dots$ ；按照此规律继续进行下去，若矩形 $\mathit{ABCD}$ 的面积等于2，则△ $E{F}_{n}B$ 的面积为 　　．（用含正整数 $n$ 的式子表示）