初中数学三角形试题

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\mathit{BF}$分别交 $\mathit{AC}$于 $H$，交 $\mathit{CD}$于 $G$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若点 $G$为 $\mathit{CD}$的中点，求 $\frac{\mathit{HG}}{\mathit{GF}}$的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，半径 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{AB}=8\mathit{cm}$， $\mathit{DC}=2\mathit{cm}$，则 $\mathit{OC}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{EF}$过 $▱\mathit{ABCD}$对角线的交点 $O$，交 $\mathit{AD}$于 $E$，交 $\mathit{BC}$于 $F$，若 $▱\mathit{ABCD}$的周长为18， $\mathit{OE}=1.5$，则四边形 $\mathit{EFCD}$的周长为 $($　　 $)$

A．14B．13C．12D．10

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=66°$，点 $I$是内心，则 $\angle \mathit{BIC}$的大小为 $($　　 $)$

A． $114°$B． $122°$C． $123°$D． $132°$

如图，点 $A$、 $F$、 $C$、 $D$在同一条直线上，已知 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{DE}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CE}$分别是边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$上的中线，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $O$．若 $\mathit{OD}=2\mathit{cm}$， $\mathit{OE}=4\mathit{cm}$，则线段 $\mathit{AO}$的长度为　　 $\mathit{cm}$．

已知抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+1$具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 $F(0,2)$的距离与到 $x$轴的距离始终相等，如图，点 $M$的坐标为 $(\sqrt{3}$， $3)$， $P$是抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+1$上一个动点，则 $\mathit{\Delta PMF}$周长的最小值是 $($　　 $)$

A．3B．4C．5D．6

已知三角形的三边长分别为 $a$、 $b$、 $c$，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$；我国南宋时期数学家秦九韶（约 $1202-1261)$曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2}$，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{15}}{8}$B． $\frac{3\sqrt{15}}{4}$C． $\frac{3\sqrt{15}}{2}$D． $\frac{\sqrt{15}}{2}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AE}=1$，则弦 $\mathit{CD}$的长是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{7}$B． $2\sqrt{7}$C．6D．8

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $\mathit{ABC}$，其中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，在 $\mathit{\Delta ABC}$的外侧分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为腰作了两个等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，分别取 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{BC}$的中点 $M$， $N$， $G$，连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{GN}$．小明发现了：线段 $\mathit{GM}$与 $\mathit{GN}$的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $\mathit{ABC}$换为一般的锐角三角形，其中 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $\mathit{\Delta ABC}$的内侧分别作等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，其它条件不变，试判断 $\mathit{\Delta GMN}$的形状，并给与证明．

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$是任意一个三角形，求证： $\angle A+\angle B+\angle C=180°$．

如图， $P$为等边三角形 $\mathit{ABC}$内的一点，且 $P$到三个顶点 $A$， $B$， $C$的距离分别为3，4，5，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $($　　 $)$

A． $9+\frac{25\sqrt{3}}{4}$B． $9+\frac{25\sqrt{3}}{2}$C． $18+25\sqrt{3}$D． $18+\frac{25\sqrt{3}}{2}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{CM}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且 $\mathit{MN}$平分 $\angle \mathit{AMC}$，若 $\mathit{AN}=1$，则 $\mathit{BC}$的长为 $($　　 $)$

A．4B．6C． $4\sqrt{3}$D．8

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．