初中数学平行线的性质解答题

如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$ ， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$ ．求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ．

如图，平分，，垂足为点，．

求证：是等腰三角形．

已知：四边形 $\mathit{ABCD}$．

求作：点 $P$，使 $\angle \mathit{PCB}=\angle B$，且点 $P$到边 $\mathit{AD}$和 $\mathit{CD}$的距离相等．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．

如图， $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CD}=\mathit{BE}$， $\mathit{CD}//\mathit{BE}$．求证： $\angle D=\angle E$．

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $\mathit{ME}\parallel \mathit{BC}$，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（0＜\mathit{AM}＜1）$，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△\mathit{MOA}}＝S_{△\mathit{DOE}}$．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $\mathit{MD}\parallel \mathit{AE}$；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：

如图， $\mathit{AB}\parallel \mathit{OH}\parallel \mathit{CD}$，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O， $\mathit{OD}\perp \mathit{CD}$．垂足为D，已知 $\mathit{AB}＝20$米，请根据上述信息求标语CD的长度．

如图，在△ ABC中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c．

（1）若 a＝6， b＝8， c＝12，请直接写出∠ A与∠ B的和与∠ C的大小关系；

（2）求证：△ ABC的内角和等于180°；

（3）若 $\frac{a}{a-b+c}=\frac{\frac{1}{2}(a+b+c)}{c}$ ，求证：△ ABC是直角三角形．

如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）求证：OA²＝OE•OF．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}>\mathit{AC}$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{BD}=\mathit{CA}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$ ，并截取 $\mathit{DE}=\mathit{AB}$ ，且点 $C$ ， $E$ 在 $\mathit{AB}$ 同侧，连接 $\mathit{BE}$ ．求证： $\mathit{\Delta DEB}\cong \mathit{\Delta ABC}$ ．

光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 $\mathit{AB}$ 与水杯下沿 $\mathit{CD}$ 平行，光线 $\mathit{EF}$ 从水中射向空气时发生折射，光线变成 $\mathit{FH}$ ，点 $G$ 在射线 $\mathit{EF}$ 上，已知 $\angle \mathit{HFB}=20°$ ， $\angle \mathit{FED}=45°$ ，求 $\angle \mathit{GFH}$ 的度数．

如图直线 $\mathit{EF}$ 分别与直线 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ， $F$ ． $\mathit{EM}$ 平分 $\angle \mathit{BEF}$ ， $\mathit{FN}$ 平分 $\angle \mathit{CFE}$ ，且 $\mathit{EM}//\mathit{FN}$ ．求证： $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ．

如图， $\mathit{AB}=\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\angle \mathit{DAB}=70°$ ， $\angle E=40°$ ．

（1）求 $\angle \mathit{DAE}$ 的度数；

（2）若 $\angle B=30°$ ，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ．

如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留．

如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：．