初中数学二次函数与不等式（组）试题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

直线 $l$ 过点 $(0,4)$ 且与 $y$ 轴垂直，若二次函数 $y={(x-a)}^2+{(x-2a)}^2+{(x-3a)}^2-2a^2+a$ （其中 $x$ 是自变量）的图象与直线 $l$ 有两个不同的交点，且其对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$a>4$

B．

$a>0$

C．

$0<a⩽4$

D．

$0<a<4$

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}$与直线 $y=-x+b$相交于点 $A(2,0)$和点 $B$．

（1）求 $m$和 $b$的值；

（2）求点 $B$的坐标，并结合图象写出不等式 $x^2+\mathit{mx}>-x+b$的解集；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，将点 $M$向左平移3个单位长度得到点 $N$，若线段 $\mathit{MN}$与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$的横坐标 $x_M$的取值范围．

函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与函数 $y=x$的图象如图所示，有以下结论：① $b^2-4c>0$；② $b+c=0$；③ $b<0$；④方程组 $\left\{\begin{array}{c}y=x^2+\mathit{bx}+c\\ y=x\end{array}\right.$的解为 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ y_1=1\end{array}\right.$， $\left\{\begin{array}{c}{x}_2=3\\ y_2=3\end{array}\right.$；⑤当 $1<x<3$时， $x^2+(b-1)x+c>0$．其中正确的是 $($　　 $)$

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$ 与直线 $y=\mathit{kx}+m$ 交于 $A(-3,y_1)$ ， $B(1,y_2)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a{x}^2+c⩾-\mathit{kx}+m$ 的解集是 $($ 　　 $)$

A．

$x⩽-3$ 或 $x⩾1$

B．

$x⩽-1$ 或 $x⩾3$

C．

$-3⩽x⩽1$

D．

$-1⩽x⩽3$

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a>0$ ；② $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；③ $4a+b=1$ ；④不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c<0$ 的解集为 $1<x<3$ ，正确的结论个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图所示，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x=1$．直线 $y=-x+c$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $C$、 $D$两点， $D$点在 $x$轴下方且横坐标小于3，则下列结论：

① $2a+b+c>0$；

② $a-b+c<0$；

③ $x(\mathit{ax}+b)⩽a+b$；

④ $a<-1$．

其中正确的有 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个

用数形结合等思想方法确定二次函数 $y=x^2+2$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象的交点的横坐标 $x_0$ 所在的范围是 $($ 　　 $)$

A．

$0<x_0⩽\frac{1}{4}$

B．

$\frac{1}{4}<x_0⩽\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}<x_0⩽\frac{3}{4}$

D．

$\frac{3}{4}<x_0⩽1$

如图，直线 $y=\mathit{mx}+n$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,p)$， $B(4,q)$两点，则关于 $x$的不等式 $\mathit{mx}+n>a{x}^2+\mathit{bx}+c$的解集是           ．

已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+m(k\ne 0)$和二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的自变量和对应函数值如表：

$x$	$\dots$	$-1$	0	2	4	$\dots$
$y_1$	$\dots$	0	1	3	5	$\dots$

$x$	$\dots$	$-1$	1	3	4	$\dots$
$y_2$	$\dots$	0	$-4$	0	5	$\dots$

当 $y_2>y_1$时，自变量 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x<-1$B． $x>4$C． $-1<x<4$D． $x<-1$或 $x>4$

已知函数 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ ，则下列说法不正确的个数是 $($ 　　 $)$

①若该函数图像与 $x$ 轴只有一个交点，则 $a=1$ ；

②方程 $a{x}^2-(a+1)x+1=0$ 至少有一个整数根；

③若 $\frac{1}{a}<x<1$ ，则 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ 的函数值都是负数；

④不存在实数 $a$ ，使得 $a{x}^2-(a+1)x+1⩽0$ 对任意实数 $x$ 都成立．

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式： $x^2﹣5x＞0$．

解：设 $x^2﹣5x＝0$，解得： $x_1＝0，x_2＝5$，则抛物线 $y＝x^2﹣5x$与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数 $y＝x^2﹣5x$的大致图象（如图所示），由图象可知：当 $x＜0$，或 $x＞5$时函数图象位于x轴上方，此时 $y＞0$，即 $x^2﹣5x＞0$，所以，一元二次不等式 $x^2﹣5x＞0$的解集为： $x＜0$，或 $x＞5$．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）

①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想

（2）一元二次不等式 $x^2﹣5x＜0$的解集为　   ．

（3）用类似的方法解一元二次不等式： $x^2﹣2x﹣3＞0$．

已知 $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(3,-4)$ 、 $(0,-2)$ ，线段 $\mathit{AB}$ 上有一动点 $M(m,n)$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $y=a{(x-1)}^2+2$ 于 $P(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q(x_2$ ， $y_2)$ 两点．若 $x_1<m⩽x_2$ ，则 $a$ 的取值范围为 $($ 　　 $)$

A．

$-4⩽a<-\frac{3}{2}$

B．

$-4⩽a⩽-\frac{3}{2}$

C．

$-\frac{3}{2}⩽a<0$

D．

$-\frac{3}{2}<a<0$

对任意实数 a，若多项式2 b ²﹣5 ab+3 a ²的值总大于﹣3，则实数 b的取值范围是 　　．

已知一次函数 y ₁＝4 x，二次函数 y ₂＝2 x ²+2，在实数范围内，对于 x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y ₁与 y ₂，则下列关系正确的是（　　）

A．

y 1＞y 2

B．

y 1≥y 2

C．

y 1＜y 2

D．

y 1≤y 2