初中数学一元二次方程的应用试题

为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$， $B$两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 $A$、 $B$两个品种各种植了10亩．收获后 $A$、 $B$两个品种的售价均为 $2.4$元/kg，且 $B$品种的平均亩产量比A品种高100千克， $A$、 $B$两个品种全部售出后总收入为 $21600$元．

（1）求 $A$、 $B$两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a\%$和 $2a\%$．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 $a\%$，而A品种的售价保持不变， $A$、 $B$两个品种全部售出后总收入将增加 $\frac{20}{9}a\%$．求a的值．

为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元 $/$个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 $200\%$，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 $($　　 $)$

A．9人B．10人C．11人D．12人

某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

某商场对某种商品进行销售，第 $x$天的销售单价为 $m$元 $/$件，日销售量为 $n$件，其中 $m$， $n$分别是 $x(1⩽x⩽30$，且 $x$为整数）的一次函数，销售情况如表：

销售第 $x$天	第1天	第2天	第3天	第4天	$\dots$	第30天
销售单价 $m$（元 $/$件）	49	48	47	46	$\dots$	20
日销售量 $n$（件 $)$	45	50	55	60	$\dots$	190

（1）观察表中数据，分别直接写出 $m$与 $x$， $n$与 $x$的函数关系式：　　，　　；

（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？

（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？

某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第 $x$天 $(1⩽x⩽30$且 $x$为整数）的销量为 $y$件．

（1）直接写出 $y$与 $x$的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第 $x$天的利润为 $W$元，试求出 $W$与 $x$之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

某水果商店销售一种进价为40元 $/$千克的优质水果，若售价为50元 $/$千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元 $/$千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元 $/$千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 $x^2+5x-14=0$ 即 $x(x+5)=14$ 为例加以说明．数学家赵爽（公元 $3~4$ 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ${(x+x+5)}^2$ ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4\times 14+5^2$ ，据此易得 $x=2$ ．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 $x^2-4x-12=0$ 的正确构图是 　             　．（只填序号）

某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元 $/$盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元 $/$盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元 $/$盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

如图，在足够大的空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $\mathit{MN}$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ ，其中 $\mathit{AD}⩽\mathit{MN}$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若 $a=20$ ，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙 $\mathit{AD}$ 的长；

（2）求矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有 $A$ ， $B$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	$A$	$B$	$A$ 和     $B$
门票价格	100元     $/$ 人	80元     $/$ 人	160元     $/$ 人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

列方程（组 $)$解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$， $B$两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 $A$， $B$两个品种各种植了10亩．收获后 $A$， $B$两个品种的售价均为2.4元 $/\mathit{kg}$，且 $B$的平均亩产量比 $A$的平均亩产量高 $100\mathit{kg}$， $A$， $B$两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出 $A$， $B$两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$， $B$种植亩数不变的情况下，预计 $A$， $B$两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a\%$和 $2a\%$．由于 $B$品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a\%$，而 $A$品种的售价不变． $A$， $B$两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9}a\%$．求 $a$的值．