初中数学规律型：数字的变化类填空题

如图所示，下列各三角形中的三个数之间均有相同的规律，根据此规律，当图中 $m=90$时，正整数 $n$的值为　　．

观察下列一组数： $-\frac{2}{3}$， $\frac{6}{9}$， $-\frac{12}{27}$， $\frac{20}{81}$， $-\frac{30}{243}$， $\dots$，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 $n$个数是　 　．

设 $a_1$， $a_2$， $a_3\dots \dots$是一列正整数，其中 $a_1$表示第一个数， $a_2$表示第二个数，依此类推， $a_n$表示第 $n$个数 $(n$是正整数）．已知 $a_1=1$， $4a_n={(a_{n+1}-1)}^2-{(a_n-1)}^2$，则 $a_{2018}=$　　．

定义：分数 $\frac{n}{m}(m$， $n$为正整数且互为质数）的连分数 $\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$（其中 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为 $1)$，记作 $\frac{n}{m}\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots$，

例如： $\frac{7}{19}=\frac{1}{\frac{19}{7}}=\frac{1}{2+\frac{5}{7}}=\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{7}{5}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{2}{5}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{5}{2}}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}$， $\frac{7}{19}$的连分数为 $\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}$，记作 $\frac{7}{19}\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，则　    　 $\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$．

已知 $a_1=-\frac{3}{2}$， $a_2=\frac{5}{5}$， $a_3=-\frac{7}{10}$， $a_4=\frac{9}{17}$， $a_5=-\frac{11}{26}$， $\dots$，则 $a_8=$　　．

按一定规律排列的一列数依次为： $\frac{2}{3}$，1， $\frac{8}{7}$， $\frac{11}{9}$， $\frac{14}{11}$， $\frac{17}{13}$， $\dots$，按此规律，这列数中的第100个数是　　．

如图，在 $6\times 6$的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线框中的数字不重复，则 $a\times c=$　   　．

观察下列运算过程：

计算： $1+2+2^2+\dots +2^{10}$．

解：设 $S=1+2+2^2+\dots +2^{10}$，①

① $\times 2$得

$2S=2+2^2+2^3+\dots +2^{11}$，② $?$

② $-$①得

$S=2^{11}-1$．

所以， $1+2+2^2+\dots +2^{10}=2^{11}-1$

运用上面的计算方法计算： $1+3+3^2+\dots +3^{2017}=$　　．

下面是按一定规律排列的代数式： $a^2$， $3a^4$， $5a^6$， $7a^8$， $\dots$则第8个代数式是　　．

设一列数中相邻的三个数依次为 $m$、 $n$、 $p$，且满足 $p=m^2-n$，若这列数为 $-1$，3， $-2$， $a$， $-7$， $b\dots$，则 $b=$　　．

已知一列数 $a$， $b$， $a+b$， $a+2b$， $2a+3b$， $3a+5b$， $\dots \dots$，按照这个规律写下去，第9个数是　　．

将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2）， $(4,6)$， $(8$，10， $12)$， $(14$，16，18， $20)\dots$，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第 $m$组第 $n$个数字，则 $m+n=$　　．

$a_1$， $a_2$， $a_3$， $a_4$， $a_5$， $a_6$， $\dots$，是一列数，已知第1个数 $a_1=4$，第5个数 $a_5=5$，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数 $a_{2019}$的值是　　．

已知： $2+\frac{2}{3}=2^2\times \frac{2}{3}$， $3+\frac{3}{8}=3^2\times \frac{3}{8}$， $4+\frac{4}{15}=4^2\times \frac{4}{15}$， $5+\frac{5}{24}=5^2\times \frac{5}{24}$， $\dots$，若 $10+\frac{b}{a}={10}^2\times \frac{b}{a}$符合前面式子的规律，则 $a+b=$　　．

观察下列各式： $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}},\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}\dots$请你将发现的规律用含自然数 $n(n⩾1)$的代数式表达出来　　．