初中数学规律型：数字的变化类解答题

请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：


计算：①；     
②

规律探究．下面有8个算式，排成4行2列
2＋2，       2×2           
3＋，      3×
4＋，       4×    
5＋，       5×   ……，          ……
（1）同一行中两个算式的结果怎样？
（2）算式2005＋和2005×的结果相等吗？
（3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数n的代数式表示这一规律．

观察下列各等式：，，……根据你发现的规律，计算：
（1）   
（2）（n为正整数）

给出依次排列的一列数：
—1、2、—4、8、—16、32，---------
（1）按照给出的这个数列的某种规律，继续写出后面的3项：      ，      ，       ；
（2）这一列数第n个数是什么？

定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3=1×4+3=7 ；3⊙（－1）= 3×4－1=11；5⊙4="5×4+4=24" ；4⊙（－3）= 4×4－3=13
（1）请你想一想：用代数式表示a⊙b的结果为：___________；
（2）若a≠b,那么a⊙b______b⊙a（填入“=”或“≠ ”）；
（3）若a⊙（－2b）= 4，请计算（a－b）⊙（2a+b）的值．

将1、、、、按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是____．
  

如图的数阵是由一些奇数组成的．

（1）如图框中的四个数中，若设第一行的第一个数为x，用含x的代数式表示另外三个数；
（2）若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；
（3）是否存在这样的四个数，他们的和为2014？若存在，请求出中四个数中最大的数；若不存在，请说明理由．

阅读下文，寻找规律．计算
,
,
……．
（1）观察上式，并猜想：                 ．
（2）根据你的猜想，计算:                  ．（其中n是正整数）

观察一列数：1、2、4、8、16、…我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5、﹣15、45、…的第4项是         ．
（2）如果一列数a₁，a₂，a₃，a₄是等比数列，且公比为q．那么有：a₂=a₁q，a₃=a₂q=（a₁q）q=a₁q²，a₄=a₃q=（a₁q²）q=a₁q³
则：a₅=              ．（用a₁与q的式子表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第4项是40，求它的公比．

观察下列各式：
﹣1×=﹣1+
﹣×=﹣+
﹣×=﹣+
…
（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）
（2）试运用你发现的规律计算：
（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）

观察下列各式：
1³+2³=；
1³+2³+3³=36=；
1³+2³+3³+4³=100=；
（1）计算：1³+2³+3³+4³+5³的值；
（2）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（3）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．

观察下列等式：，，；将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①；
②．
（3）探究并计算式子：的值．

仔细观察下列三组数：
第一组：1，4，9，16，25，…
第二组：1，8，27，64，125，…
第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，…
（1）写出每组的第6个数各是多少？
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
（3）取每组数的第n个数，计算这三个数的和．

定义一种新运算，满足下列等式，请你细心观察下列各式：



      
（1）仿照上面式子你可得出：=____________________；
（2）经过探究你可猜想： _____________________；
（3）如果，上面你所得到的算式满足交换律吗？为什么？
（4）如果，试求的值．

观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64…；
0，6，-6，18，-30，66…；
1，-，，-，，-，…；
（1）第一行数的第8个数为        ；
（2）若第一行的第n个数用（-2）ⁿ表示，则第三行的第n个数表示为  ；
（3）取每一行的第m个数，三个数的和记为p，
①当m=10时，求p的值；
②当m=     时，|p+30000|的值最小．