定义一种新运算:观察下列各式:1⊙3=1×4+3=7 ;3⊙(-1)= 3×4-1=11;5⊙4="5×4+4=24" ;4⊙(-3)= 4×4-3=13
(1)请你想一想:用代数式表示a⊙b的结果为:___________;
(2)若a≠b,那么a⊙b______b⊙a(填入“=”或“≠ ”);
(3)若a⊙(-2b)= 4,请计算(a-b)⊙(2a+b)的值.
[阅读理解]
我们知道,,那么结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即,第2行两个圆圈中数的和为,即,;第行个圆圈中数的和为,即,这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为.
[规律探究]
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第行的第一个圆圈中的数分别为,2,,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: ,因此, .
[解决问题]
根据以上发现,计算:的结果为 .
如图的数阵是由一些奇数组成的.
(1)如图框中的四个数中,若设第一行的第一个数为x,用含x的代数式表示另外三个数;
(2)若这样框中的四个数的和是200,求出这四个数;
(3)是否存在这样的四个数,他们的和为2014?若存在,请求出中四个数中最大的数;若不存在,请说明理由.
观察下列等式:
;
;
;
;
已知按一定规律排列的一组数: , , , , , , , , ,若 ,则 (结果用含 的代数式表示).
观察一列数:1、2、4、8、16、…我们发现,这一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于2.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数就叫做等比数列的公比.
(1)等比数列5、﹣15、45、…的第4项是 .
(2)如果一列数a1,a2,a3,a4是等比数列,且公比为q.那么有:a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3
则:a5= .(用a1与q的式子表示)
(3)一个等比数列的第2项是10,第4项是40,求它的公比.
观察下表三行数的规律,回答下列问题:
|
第1列 |
第2列 |
第3列 |
第4列 |
第5列 |
第6列 |
… |
第1行 |
-2 |
4 |
-8 |
a |
-32 |
64 |
… |
第2行 |
0 |
6 |
-6 |
18 |
-30 |
66 |
… |
第3行 |
-1 |
2 |
-4 |
8 |
-16 |
b |
… |
(1)第1行的第四个数a是 ;第3行的第六个数b是 ;
(2)若第1行的某一列的数为c,则第2行与它同一列的数为 ;
(3)已知第n列的三个数的和为2562,若设第1行第n列的数为x,试求x的值.
观察下列各式:
13+23=;
13+23+33=36=;
13+23+33+43=100=;
(1)计算:13+23+33+43+53的值;
(2)计算:13+23+33+43+…+103的值;
(3)猜想:13+23+33+43+…+n3的值.
观察下列各个等式的规律:
第一个等式:,第二个等式:,第三个等式:
请用上述等式反映出的规律解决下列问题:
(1)直接写出第四个等式;
(2)猜想第个等式(用的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.
仔细观察下列三组数:
第一组:1,4,9,16,25,…
第二组:1,8,27,64,125,…
第三组:﹣2,﹣8,﹣18,﹣32,﹣50,…
(1)写出每组的第6个数各是多少?
(2)第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍?
(3)取每组数的第n个数,计算这三个数的和.
下面有8个算式,排成4行2列
2+2, 2×2
3+, 3×
4+, 4×
5+, 5×
……, ……
(1)同一行中两个算式的结果怎样?
(2)算式2005+和2005×的结果相等吗?
观察以下等式:
第1个等式: ,
第2个等式: ,
第3个等式: ,
第4个等式: .
第5个等式: .
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式: ;
(2)写出你猜想的第 个等式: (用含 的等式表示),并证明.
阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为,排在第二位的数称为第二项,记为,依此类推,排在第位的数称为第项,记为.所以,数列的一般形式可以写成:,,,,,.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用表示.如:数列1,3,5,7,为等差数列,其中,,公差为.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,的公差为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列,,,,,是等差数列,且公差为,那么根据定义可得到:,,,,,.
所以
,
,
由此,请你填空完成等差数列的通项公式: .
(3)是不是等差数列,,的项?如果是,是第几项?
如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着,,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少?
(2)求第5个台阶上的数是多少?
应用 求从下到上前31个台阶上数的和.
发现 试用含为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.
观察下列等式.
1×3+1=4=22;
2×4+1=9=32;
3×5+1=16=42;
4×6+1=25=52;
…
观察后,你发现有何规律?请用含n的式子表示出来.
观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64…;
0,6,-6,18,-30,66…;
1,-,,-,,-,…;
(1)第一行数的第8个数为 ;
(2)若第一行的第n个数用(-2)n表示,则第三行的第n个数表示为 ;
(3)取每一行的第m个数,三个数的和记为p,
①当m=10时,求p的值;
②当m= 时,|p+30000|的值最小.