如图，锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c

更新 2023-04-28
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，锐角 $△ ABC$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知二次函数 $y = x^{2} cos A - x + \frac{1}{cos A}$ 的图象顶点与点 $(- 2 cos A, 3 cos A)$ 关于 $y$ 轴对称.延长 $AB$ 至 $P$ 点，使 $AP = 2 AC$ ，且以 $C$ 为圆心， $AC$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心 $BP$ 为半径的圆相外切.

（1）求 $∠ A$ 的度数;

（2）设 $BP = r$ ，求 $a : b : c$ 的值;

（3）若关于 $t$ 的方程 $3 t^{2} - 3 ct + (a + b) = 0$ 的两个根 $α, β$ 满足 $α (α + 1) + β (β + 1) = (α + 1) (β + 1)$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

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收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5

整理数据：

时长 $x$ （小时）	$4 < x ⩽ 5$	$5 < x ⩽ 6$	$6 < x ⩽ 7$	$7 < x ⩽ 8$
人数	2	$a$	8	4

分析数据：

项目	平均数	中位数	众数
数据	6.4	6.5	$b$

应用数据：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全频数直方图；

（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在 $5 < x ⩽ 7$ 小时的人数．

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