如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC90°，AD

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ， $AD = CD$ ， $O$ 是对角线 $AC$ 的中点，联结 $BO$ 并延长交边 $CD$ 或边 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）当点 $E$ 在 $CD$ 上，

①求证： $ΔDAC ∽ ΔOBC$ ；

②若 $BE ⊥ CD$ ，求 $\frac{AD}{BC}$ 的值；

（2）若 $DE = 2$ ， $OE = 3$ ，求 $CD$ 的长．

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如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形 $ABCD$ ，其中 $AD / / BC$ ， $AB ⊥ BC$ ， $CD = 15 mm$ ， $∠ C = 53 °$ ，刀鞘的边缘 $MN / / PQ$ ，刀刃 $BC$ 与刀鞘边缘 $PQ$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 恰好落在刀鞘另一边缘 $MN$ 上时， $∠ COP = 37 °$ ， $OC = 50 mm$ ，

（1）求刀片宽度 $h$ ．

（2）若刀鞘宽度为 $14 mm$ ，求刀刃 $BC$ 的长度．（结果精确到 $0.1 mm)$ （参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4})$

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（1）求 $w$ 与 $x$ 的函数关系式．（利润 $=$ 租金 $-$ 支出）

（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？

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（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 2$ ， $∠ PBD = 60 °$ ，求 $\hat{AP}$ 与弦 $AP$ 围成的阴影部分的面积．

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某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为 $70 %$ ，九年二班的满分率为 $80 %$ ．

（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．

（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过 $75 %$ ，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分．

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随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别： $A$ ．积极参与； $B$ ．一定参与； $C$ ．可以参与； $D$ ．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图．

学生参与“朗读”的态度统计表

类别	人数	所占百分比
$A$	18	$a$
$B$	20	$40 %$
$C$	$m$	$16 %$
$D$	4	$8 %$
合计	$b$	$100 %$

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）请求出 $m$ 的值并将条形统计图补充完整．

（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？

（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．

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