如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，与y轴交于C(0，3)，顶点为D(1,4)，对称轴为DE.
（1）抛物线的解析式是       ；
（2）如图（2），点P是AD上的一个动点，是P关于DE的对称点，连结PE，过作F∥PE交x轴于F. 设，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.