如图，已知抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A（,0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1.
（1）直接写出抛物线的解析式       ：
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.