为了计算湖中小岛上凉亭 到岸边公路 的距离，某数学兴趣小组在公路 上的点 处，测得凉亭 在北偏东 的方向上；从 处向正东方向行走200米，到达公路 上的点 处，再次测得凉亭 在北偏东 的方向上，如图所示．求凉亭 到公路 的距离．（结果保留整数，参考数据： ，
如图， ，点 是 平分线上的一点，过点 分别作 ， ，垂足分别为点 ， ， ，点 为线段 上的一点（点 不与点 、 重合），连接 ，以 为直角边，点 为直角顶点，作等腰直角三角形 ，点 落在 左侧．
（1）求证： ；
（2）连接 ，请你判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）设 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式．
如图，一次函数 的图象交 轴于点 、交 轴于点 ， 的平分线交 轴于点 ，过点 作直线 ，垂足为点 ，交 轴于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在线段 上有一动点 （不与点 ， 重合），过点 分别作 轴， 轴，垂足为点 、 ，是否存在点 ，使线段 的长最小？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第 天 且 为整数）的销量为 件．
（1）直接写出 与 的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第 天的利润为 元，试求出 与 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
如图， ， 均为直角三角形， ， ， 与 相交于点 ，以 为直径的 恰好经过点 ，并与 ， 分别交于点 和点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
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