已知：∠AOB．求作：∠AOB，使∠AOB∠AOB（1）如图

已知： $∠ AOB$ ．

求作： $∠ A^{'} O^{'} B^{'}$ ，使 $∠ A^{'} O' B^{'} = ∠ AOB$

（1）如图1，以点 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $OA$ ， $OB$ 于点 $C$ 、 $D$ ；

（2）如图2，画一条射线 $O' A'$ ，以点 $O'$ 为圆心， $OC$ 长为半径画弧，交 $O' A'$ 于点 $C'$ ；

（3）以点 $C'$ 为圆心， $CD$ 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点 $D'$ ；

（4）过点 $D'$ 画射线 $O' B^{'}$ ，则 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ AOB$ ．

根据以上作图步骤，请你证明 $∠ A^{'} O^{'} B' = ∠ AOB$ ．

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如图1， $Rt Δ ACB$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AC$ 上， $∠ CBD = ∠ A$ ，过 $A$ 、 $D$ 两点的圆的圆心 $O$ 在 $AB$ 上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $⊙ O$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $BD$ 所在直线与（1）中所作的 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ， $F$ 为垂足，若点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点（即 $\frac{DC}{AD} = \frac{AD}{AC})$ ，如图2，试说明四边形 $DEFC$ 是正方形）．

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如图， $ΔABC$ 是一块直角三角板，且 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，现将圆心为点 $O$ 的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 $AC$ 、 $BC$ 都相切时，试用直尺与圆规作出射线 $CO$ ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若 $BC = 9$ ，圆形纸片的半径为2，求圆心 $O$ 运动的路径长．

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如图，已知等边 $ΔABC$ ，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） $:$

（1）作 $ΔABC$ 的外心 $O$ ；

（2）设 $D$ 是 $AB$ 边上一点，在图中作出一个正六边形 $DEFGHI$ ，使点 $F$ ，点 $H$ 分别在边 $BC$ 和 $AC$ 上．

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如图，已知 $∠ MAN$ ，及线段 $a$ ， $b (a > b)$ ．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $AM$ 、 $AN$ 上确定点 $B$ 、点 $C$ ，使得 $AC = b$ ， $AB + BC = a$ （保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin ∠ MAN = \frac{5}{13}$ ， $a = 61$ ， $b = 39$ ，则 $ΔABC$ 的面积为　　．

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如图，已知 $∠ MAN$ ，及线段 $a$ ， $b (a > b)$ ．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $AM$ 、 $AN$ 上确定点 $B$ 、点 $C$ ，使得 $AC = b$ ， $AB + BC = a$ （保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin ∠ MAN = \frac{5}{13}$ ， $a = 61$ ， $b = 39$ ，则 $ΔABC$ 的面积为　　．

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