某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：

对于三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的平均数，用 $\min {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最小的数，例如 $M {1$ ，2， $9} = \frac{1 + 2 + 9}{3} = 4$ ， $\min {1$ ，2， $- 3} = - 3$ ， $\min (3$ ，1， $1} = 1$ ．请结合上述材料，解决下列问题：

（1）① $M {{(- 2)}^{2}$ ， $2^{2}$ ， $- 2^{2}} =$ 　；

② $\min {\sin 30 °$ ， $\cos 60 °$ ， $\tan 45 °} =$ 　　；

（2）若 $\min (3 - 2 x$ ， $1 + 3 x$ ， $- 5} = - 5$ ，则 $x$ 的取值范围为　　；

（3）若 $M {- 2 x$ ， $x^{2}$ ， $3} = 2$ ，求 $x$ 的值；

（4）如果 $M {2$ ， $1 + x$ ， $2 x} = \min {2$ ， $1 + x$ ， $2 x}$ ，求 $x$ 的值．

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（1）甲生的方案：如下页图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处（不考虑视力表与墙角AF之间的距离），被测试人站立在对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．

（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF米处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多少cm？

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下面是某同学对多项式(x²—4x+2)(x²—4x+6)+4进行分解因式的过程。
解：设x²—4x=y.
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回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的；
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（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为；
（3）试分解因式n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1.

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如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。

（1）求证：△ADF∽△DEC；
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“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务. 王刚同学在开学初针对暑假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：

时间分组（时）	0.5~20.5	20.5~40.5	40.5~60.5	60.5~80.5	80.5~100.5
频数（人）	20	25	30	15	10

（1）在这个问题中的样本是，其中暑假做家务的时间在20.5~40.5的频率为_____.
（2）根据表中数据补全图中的频数分布直方图.

（3）样本的中位数所在时间段的范围是.
（4）若该学校有学生1260人，那么约有名学生在暑假做家务的时间在40.5~100.5小时之间。

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如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A’B’C’的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A"B"C"，如果△ABC内部一点M的坐标为（x，y），写出△A"B"C"中M的对应点M"的坐标。

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难度：未知

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