为响应国家足球进校园的号召，某校购买了50个A类足球和25个

为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个 $A$ 类足球和25个 $B$ 类足球共花费7500元，已知购买一个 $B$ 类足球比购买一个 $A$ 类足球多花30元．

（1）求购买一个 $A$ 类足球和一个 $B$ 类足球各需多少元？

（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4800元的经费再次购买 $A$ 类足球和 $B$ 类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个 $A$ 类足球？

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解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{5 x - 1}{6} + 2 > \frac{x + 5}{4} \\ 2 x + 5 ⩽ 3 (5 - x) \end{matrix}$ ．

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先化简，再求值．

$(\frac{5 a + 3 b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{8 b}{b^{2} - a^{2}}) \div \frac{1}{a^{2} b + a b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 的图象经过点 $C (0, - 2)$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1, - \frac{8}{3})$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接 $AC$ ， $E$ 为直线 $AC$ 上一点，当 $ΔAOC ∽ ΔAEB$ 时，求点 $E$ 的坐标和 $\frac{AE}{AB}$ 的值．

（3）点 $F (0, y)$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $y$ 为何值时， $\frac{\sqrt{5}}{5} FC + BF$ 的值最小．并求出这个最小值．

（4）点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $H$ ，当 $\frac{\sqrt{5}}{5} FC + BF$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使 $ΔQHF$ 是直角三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径， $BC$ 是弦， $BC = BD$ ，连接 $CD$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $∠ BCD = ∠ DBE$ ．

（1）求证： $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ 于 $F$ ，交 $BC$ 于 $G$ ，已知 $DE = 2 \sqrt{10}$ ， $EG = 3$ ，求 $BG$ 的长．

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某县有 $A$ 、 $B$ 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨．若将 $A$ 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与 $B$ 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同．从 $A$ 、 $B$ 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表：

（1）求 $A$ 、 $B$ 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？

（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨．设从 $A$ 基地运送 $m$ 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？

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