如图，以菱形 $\mathit{ABCD}$对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， $A$、 $B$两点的坐标分别为 $(-2\sqrt{5}$， $0)$、 $(0,-\sqrt{5})$，直线 $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{AC}$于 $E$，动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度沿着 $A\to D\to C$的路线向终点 $C$匀速运动，设 $\mathit{\Delta PDE}$的面积为 $S(S\ne 0)$，点 $P$的运动时间为 $t$秒．

（1）求直线 $\mathit{DE}$的解析式；

（2）求 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当 $t$为何值时， $\angle \mathit{EPD}+\angle \mathit{DCB}=90°$？并求出此时直线 $\mathit{BP}$与直线 $\mathit{AC}$所夹锐角的正切值．