已知．（1）求的单调区间；（2）令，则时有两个不同的根，求的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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已知．
（1）求的单调区间；
（2）令，则时有两个不同的根，求的取值范围；
（3）存在，且，使成立，求的取值范围．

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如图，直三棱柱 $A B C - A ` B ` C `$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ , $A A ` = 1$ ，点 $A ` B$ 和 $B ` C `$ 的中点。

(Ⅰ)证明： $M N ∥$ 平面 $A ` A C C `$ ；
(Ⅱ)求三棱锥 $A ` - M N C$ 的体积。（锥体体积公式 $V - \frac{1}{3} S h$ ,其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高).

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .角 $A, B, C$ 成等差数列.
(Ⅰ)求 $\cos B$ 的值；
(Ⅱ)边 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\sin A \sin C$ 的值.

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已知函数 $f (x) = a x \sin x - \frac{3}{2} (a \in R)$ 且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{π - 3}{2}$ ，
(1)求函数 $f (x)$ 的解析式；
(2)判断函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的零点个数，并加以证明

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如图，等边三角形 $O A B$ 的边长为 $8 \sqrt{3}$ ，且其三个顶点均在抛物线 $E : x^{2} = 2 p y （ p ＞ 0 ）$ 上。

（1）求抛物线 $E$ 的方程；
（2）设动直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $P$ ，与直线 $y = - 1$ 相交于点 $Q$ ，证明以 $P Q$ 为直径的圆恒过 $y$ 轴上某定点.

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$\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$ 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $s i n^{2} 18^{°} + c o s^{2} 12^{°} - s i n 18^{°} c o s 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin (- 18^{°}) \cos 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

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