如图，直三棱柱ABCA`B`C`，∠BAC90°，ABAC2

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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如图，直三棱柱 $A B C - A ` B ` C `$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ , $A A ` = 1$ ，点 $A ` B$ 和 $B ` C `$ 的中点。

(Ⅰ)证明： $M N ∥$ 平面 $A ` A C C `$ ；
(Ⅱ)求三棱锥 $A ` - M N C$ 的体积。（锥体体积公式 $V - \frac{1}{3} S h$ ,其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高).

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已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln (x + 1)$ 其中实数 $a \neq 1$ .
（I）若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（II)若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f (x)$ 的单调性.

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在甲、乙等6个单位参加的一次"唱读讲传"演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数 $ζ$ 的分布列与期望。

题型：未知
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设函数 $f (x) = \cos (x + \frac{2}{3} π) + 2 \cos^{2} \frac{x}{2}, x \in R$ .
(I)求 $f (x)$ 的值域;
(II)记 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边长分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = 1, b = 1, c = \sqrt{3}$ ,求 $a$ 的值.

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已知以原点 $O$ 为中心， $F (\sqrt{5}, 0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .
（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1} :$ $x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $N (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{2} \neq y_{2}$ ）的直线 $l_{2} :$ ： $x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $M N$ 与双曲线的两条渐近线分别交于 $G$ 、 $H$ 两点，求 $\overset{⇀}{O G} \cdot \overset{⇀}{O H}$ 的值.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点.
（Ⅰ）证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 1$ ，求二面角 $B - E C - D$

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