新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在课桌上，请根据图中

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在课桌上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：

（1）每本书的厚度为 cm，课桌的高度为 cm；
（2）当课本数为（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含的代数式表示）；
（3）利用（2）中的结论解决问题：桌面上有45本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取走15本，求余下的数学课本高出地面的距离．

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已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + k + 1 = 0$ 有两实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = x_{1} x_{2} - 4$ ，求实数 $k$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组	频数	频率
$A$ 组 $(0 ⩽ x < 1)$	9	$m$
$B$ 组 $(1 ⩽ x < 2)$	18	0.3
$C$ 组 $(2 ⩽ x < 3)$	18	0.3
$D$ 组 $(3 ⩽ x < 4)$	$n$	0.2
$E$ 组 $(4 ⩽ x < 5)$	3	0.05

（1）频数分布表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的 $E$ 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

题型：未知
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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $OA$ 、 $OC$ 的中点，延长 $BM$ 至点 $E$ ，使 $EM = BM$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔAMB ≅ ΔCND$ ；

（2）若 $BD = 2 AB$ ，且 $AB = 5$ ， $DN = 4$ ，求四边形 $DEMN$ 的面积．

题型：未知
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先化简 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ ，再从 $- 2$ ． $- 1$ ，0，1，2中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

题型：未知
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如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $C (0, 3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $BC$ 上一动点，过点 $M$ 作 $MP / / y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $ΔQCO$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $MP$ 为半径作 $⊙ M$ ，当 $⊙ M$ 与坐标轴相切时，求出 $⊙ M$ 的半径．

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