甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换
设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量（件）与时间（时）的函数图象如图所示．

（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．
（2）当x=2．8时，甲、乙两组共加工零件件；乙组加工零件总量的值为．
（3）加工的零件数达到230件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，若甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，当甲组工作多长时间恰好装满第2箱？

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如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $OB$ ，求 $ΔABO$ 的面积．

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学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
$1.2 ⩽ x < 1.6$	$a$
$1.6 ⩽ x < 2.0$	12
$2.0 ⩽ x < 2.4$	$b$
$2.4 ⩽ x < 2.8$	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 $2.4 ⩽ x < 2.8$ 范围内的有多少人？

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欧拉 $(Euler$ ，1707年 $~ 1783$ 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $V (Vertex)$ 、棱数 $E (Edge)$ 、面数 $F (Flatsurface)$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $V$	4	6	8	6
棱数 $E$	6		12
面数 $F$	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 $V$ 、 $E$ 、 $F$ 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

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解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x + 1) ⩽ 7 x + 13, \\ x - 4 < \frac{x - 8}{3}, \end{matrix}$ 并求它的所有整数解的和．

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（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $DF$ 的长度最大时，求 $D$ 点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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