如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．

（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，求证：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

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在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $\frac{AC}{BC} = m$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一点，将 $ΔABD$ 沿 $AD$ 折叠得到 $ΔAED$ ，连接 $BE$ ．

（1）特例发现

如图1，当 $m = 1$ ， $AE$ 落在直线 $AC$ 上时．

①求证： $∠ DAC = ∠ EBC$ ；

②填空： $\frac{CD}{CE}$ 的值为　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m \neq 1$ ， $AE$ 与边 $BC$ 相交时，在 $AD$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ ACG = ∠ BCE$ ， $CG$ 交 $AE$ 于点 $H$ ．探究 $\frac{CG}{CE}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点时，若 $EB \cdot EH = 6$ ，求 $CG$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：

品种	进价（元 $/$ 斤）	售价（元 $/$ 斤）
鲢鱼	$a$	5
草鱼	$b$	销量不超过200斤的部分	销量超过200斤的部分
		8	7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼 $x$ 斤（销售过程中损耗不计）．

①分别求出每天销售鲢鱼获利 $y_{1}$ （元 $)$ ，销售草鱼获利 $y_{2}$ （元 $)$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 $m$ 元，草鱼售价全部定为7元 $/$ 斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 $W$ （元 $)$ 最小值不少于320元，求 $m$ 的最大值．

题型：未知
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如图，直线 $AB$ 经过 $⊙ O$ 上的点 $C$ ，直线 $BO$ 与 $⊙ O$ 交于点 $F$ 和点 $D$ ， $OA$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，与 $DC$ 交于点 $G$ ， $OA = OB$ ， $CA = CB$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $FC / / OA$ ， $CD = 6$ ，求图中阴影部分面积．

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小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象

①列表：如表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	3	2	$m$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\dots$