如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

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已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{3 (1 + a_{n + 1})}{1 - a_{n}} = \frac{2 (1 + a_{n})}{1 - a_{n + 1}}$ , $a_{n} a_{n + 1} ＜ 0 （ n \geq 1 ）$ ；数列_{${b_{n}}$}满足： $b_{n} = {a_{n + 1}}^{2} - {a_{n}}^{2} （ n \geq 1 ）$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）证明：数列 ${b_{n}}$ 中的任意三项不可能成等差数列。

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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 $C$ （单位：万元）与隔热层厚度 $x$ （单位： $c m$ ）满足关系： $C (x) = \frac{k}{3 x + 5} (0 \leq x \leq 10)$ .若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 $f (x)$ 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 $k$ 的值及 $f (x)$ 的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f (x)$ 达到最小，并求最小值。