如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为B

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如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．

（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB=13，sinB=，求CE的长．

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如图，正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (1, a)$ .在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, CA = CB$ ，点 $C$ 坐标为 $(- 2, 0)$ .

（1）求 $k$ 的值；

（2）求 $AB$ 所在直线的解析式.

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一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数 $2, 3, 4 \dots 2006$ ，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜;否则，判乙胜.

按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体的数字作答）.

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口袋中有 $4$ 个相同的小球，它们分别写有数字 $2, 3, 4, 5$ ，从口袋中随机取出两个球，用所得的两个数 $a$ 和 $b$ 构成函数 $y = ax - 2$ 和 $y = x + b$ ，求使这两个函数的交点在直线 $x = 2$ 右侧的概率.

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假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 这 $8$ 个数字，每一次投掷这个骰子，出现这 $8$ 个数字的机会都是一样的.若将骰子掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，设出现的数字中最大的一个用 $m$ 表示，最小的一个用 $n$ 表示.

（1）令 $t = m - n$ ，求 $t$ 的取值范围;

（2）求 $t = 3$ 的概率.

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在一个不透明的布袋里装有 $4$ 个标有 $1, 2, 3, 4$ 的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 $x$ ，小红在剩下的 $3$ 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 $y$ ，这样确定了点 $Q$ 的坐标 $(x, y)$ .

（1）画树状图或列表，写出点 $Q$ 所有可能的坐标;

（2）求点 $Q (x, y)$ 在函数 $y = - x + 5$ 的图象上的概率;

（3）小明和小红约定做一个游戏，其规则为:若 $x, y$ 满足 $xy > 6$ 则小明胜;若 $x, y$ 满足 $xy < 6$ 则小红胜，这个游戏公平吗?说明理由;若不公平，请写出公平的游戏规则.

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