（本小题满分12分）设数列的前项和为，且满足,.（Ⅰ）求通项

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）设数列的前项和为，且满足,.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）设，求证：．

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如图，正方形 $A B C D$ 和四边形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $C E ⊥ A C, E F ∥ A C, A B = \sqrt{2}, C E = E F = 1$

（Ⅰ）求证： $A F ∥$ 平面 $B D E$ ；
（Ⅱ）求证： $C F ⊥$ 平面BDE；
（Ⅲ）求二面角 $A - B E - D$ 的大小.

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已知函数 $f (x) = 2 \cos 2 x + \sin^{2} x - 4 \cos x$ .
（Ⅰ）求 $f = (\frac{π}{3})$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最大值和最小值。

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某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p . q (p > q)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 $ξ$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 $p, q$ 的值；
(Ⅲ)求数学期望 $E ξ$ 。

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已知 $m$ 是非零实数，抛物线 $C : y^{2} = 2 p s (p > 0)$ 的焦点 $F$ 在直线 $l : x - m y - \frac{m^{2}}{2} = 0$ 上.
（I）若 $m = 2$ ，求抛物线 $C$ 的方程
（II）设直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ ， $∆ A A_{2} F, ∆ B B_{1} F$ ,的重心分别为 $G, H$ .求证：对任意非零实数 $m$ ,抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的焦点在以线段 $G H$ 为直径的圆外.

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已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (a - b) (a, b \in R, a < b)$ 。
（I）当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (x))$ 处的切线方程。
（II）设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ ,证明：存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后的等差数列，并求 $x_{4}$ .

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