二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在
轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值.
如图1，点 坐标为 ，以 为边在第一象限内作等边 ，点 为 轴上一动点，且在点 右侧，连接 ，以 为边在第一象限内作等边 ，连接 交 于 ．
（1）①直接回答： 与 全等吗？
②试说明：无论点 如何移动， 始终与 平行；
（2）当点 运动到使 时，如图2，经过 、 、 三点的抛物线为 ．试问： 上是否存在动点 ，使 为直角三角形且 为直角边？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将 沿 轴翻折得 ，设 与 组成的图形为 ，函数 的图象 与 有公共点．试写出： 与 的公共点为3个时， 的取值．
探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 ， ， ， ，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： 他还利用图2证明了线段 的中点 的坐标公式： ， ．
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点 ， ，则线段 长度为 ；
②直接写出以点 ， ， ， 为顶点的平行四边形顶点 的坐标： ；
拓展：（3）如图3，点 在函数 的图象 与 轴正半轴夹角的平分线上，请在 、 轴上分别找出点 、 ，使 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
如图， 内接于 ， 平分 交 于 ，过点 作 分别交 、 延长线于 、 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 、 的长是关于 的方程 的两实根，且 ，求 的半径．
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