已知数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_1=1$，$a_n\ne 0$，$a_n{a}_{n+1}=\lambda S_n-1$，其中$\lambda$为常数，
（I）证明：$a_{n+2}-a_n=\lambda$；
（II）是否存在$\lambda$，使得$\left\{a_n\right\}$为等差数列？并说明理由.