设 f ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + 1 的导数 f ` ( x ) 满足 f ` ( 1 ) = 2 a , f ` ( 2 ) = - b ,其中常数 a , b ∈ R . (Ⅰ)求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程. (Ⅱ)设 g ( x ) = f ` ( x ) e - x .求函数 g ( x ) 的极值.
(本小题满分12分) 如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为,是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(本小题满分10分) 已知向量,,函数 (Ⅰ)求的单调增区间; (Ⅱ)若时,的最大值为4,求的值.
(本小题满分12分) 已知点和直线,作垂足为Q,且 (Ⅰ)求点P的轨迹方程; (Ⅱ)过点C的直线m与点P的轨迹交于两点点,若的面积为,求直线的方程.
(本小题满分12分) 已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
(本小题满分12分) 设数列为等差数列,且,,数列的前项和为, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求数列的前项和.