设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，
取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。
（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求

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某同学用"五点法"画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 图象，求 $y = g (x)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心．

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已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $b_{n} = n (1 + \frac{1}{n}) a_{n}, (n \in N_{+})$ ， $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数 $f (x) = 1 + x - e^{x}$ 的单调区间，并比较 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（Ⅱ）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$ ，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} . . . b_{n}}{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令 $c_{n} = (a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{\frac{1}{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$ , 证明： $T_{n} < e S_{n}$ ．

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一种作图工具如图1所示． $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处铰链与 $O N$ 连接， $M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N = O N = 1$ ， $M N = 3$ ．当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（ $D$ 不动时， $N$ 也不动）， $M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ ．以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1} : x - 2 y = 0$ 和 $l_{2} : x + 2 y = 0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究： $△ O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A, B$ 两种奶制品．生产1吨 $A$ 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨 $B$ 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的2倍，设备每天生产 $A, B$ 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$ （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$ （单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求 $Z$ 的分布列和均值；
（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

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《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ，连接 $D E, D F, B D, B E$ .

（Ⅰ）证明： $P B ⊥ 平面 D E F$ ．试判断四面体 $D B E F$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

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