（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，是以为

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．

（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ），求三棱锥体积.

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b, 0)$ ，且 $|FB| \cdot |AB| = 6 \sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y = kx (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{|AQ|}{|PQ|} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} sin ∠ AOQ$ (O为原点) ，求k的值.

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（I）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（II）设数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，

（i）求 $T_{n}$ ；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

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（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

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