设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_n\left(n\in N^{*}\right)$， $\left\{b_n\right\}$是等差数列.已知 $a_1=1$， $a_3=a_2+2$， $a_4=b_3+b_5$， $a_5=b_4+2b_6$.

（I）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（II）设数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项和为 $T_n\left(n\in N^{*}\right)$，

（i）求 $T_n$；

（ii）证明 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(T_k+b_{k+2}\right)b_k}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2\left(n\in N^{*}\right)$.