设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $\left(b,0\right)$ ，且 $\left|\mathit{FB}\right|\cdot \left|\mathit{AB}\right|=6\sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y=\mathit{kx}(k>0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{\left|\mathit{AQ}\right|}{\left|\mathit{PQ}\right|}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\text{sin}\angle \mathit{AOQ}$ (O为原点) ，求k的值.