如图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于,两点,且、、三点互不重合.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ 表示方程 x 2 + b x + c = 0 实根的个数(重根按一个计). (I)求方程 x 2 + b x + c = 0
(II) 求 ξ 的分布列和数学期望; (III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 x 2 + b x + c = 0 有实根的概率.
设数列 { a n } 满足 a 1 + 3 a 2 + 3 2 a 3 + . . . + 3 n - 1 a n = n 3 , n ∈ N + .
(I)求数列 { a n } 的通项;   (II)设 b n = n a n 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n .
已知函数 f ( x ) = e x - k x , x ∈ R
(Ⅰ)若 k = e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k > 0 ,且对于任意 x ∈ R , f ( x ) > 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( - x ) ,求证: F ( 1 ) F ( 2 ) . . . F ( n ) > ( e n + 1 + 2 ) n 2 ( n ∈ N *
等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 1 + 2 , S 3 = 9 + 3 2
(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n 与前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 b n = S n n ( n ∈ N * ) ,求证:数列 { b n } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
如图,已知点 F ( 1 , 0 ) ,直线 l : x = - 1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 Q P ⇀ · Q F ⇀ = F P ⇀ · F Q ⇀ .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A , B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 M A ⇀ = λ 1 A F ⇀ , M B ⇀ = λ 2 A F ⇀ ,求 λ 1 + λ 2 的值;