新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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[山东]2014届山东省文登市高三上学期期中统考理科数学试卷

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新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.
（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.
（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①； ②
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

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设 n为正整数，集合 A= ${α | α = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, \dots, n}$ ．对于集合 A中的任意元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记

M（ $α ， β$ ）= $\frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $α = (1, 1, 0)$ ， $β = (0, 1, 1)$ ，求 M（ $α, α$ ）和 M（ $α, β$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $α, β$ ，当 $α, β$ 相同时， M（ $α ， β$ ）是奇数；当 $α, β$ 不同时， M（ $α ， β$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $α, β$ ， M（ $α ， β$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线C： $y^{2}$ =2px经过点 $P$ （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点， $\overset{⃑}{QM} = λ \overset{⃑}{QO}$ ， $\overset{⃑}{QN} = μ \overset{⃑}{QO}$ ，求证： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值．

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x)$ =[ $a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 3$ ] $e^{x}$ ．

（1）若曲线在点（1， $f (1)$ ）处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ ；

（2）若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" $ξ_{k} = 1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" $ξ_{k} = 0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D ξ_{1}$ ， $D ξ_{2}$ ， $D ξ_{3}$ ， $D ξ_{4}$ ， $D ξ_{5}$ ， $D ξ_{6}$ 的大小关系．

题型：未知
难度：未知

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如图，在三棱柱 ABC− $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A A_{1}$ ， AC， $A_{1} C_{1}$ ，的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A A_{1}$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

题型：未知
难度：未知

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