设函数fxx1xx222x332…xnn2x∈R,n∈N，证

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设函数 $f_{x} (x) = - 1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \dots + \frac{x^{n}}{n^{2}} (x \in R, n \in N^{*})$ ，证明：
（Ⅰ）对每个 $n \in N^{*}$ ，存在唯一的 $x_{n} \in [\frac{2}{3}, 1]$ ，满足 $f_{x} (x_{n}) = 0$ ；
（Ⅱ）对任意 $p \in N^{*}$ ，由（Ⅰ）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $0 < x_{n} - x_{n - p} < \frac{1}{n}$ .

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