有一个装有进出水管的容器，单位时间内进水管与出水管的进出水量

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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有一个装有进出水管的容器，单位时间内进水管与出水管的进出水量均一定，已知容器的容积为600升，图中线段OA与BC，分别表示单独打开一个进水管和单独打开一个出水管时，容器的存水量Q（升）随时间t变化的函数关系.

（1）求线段BC所表示的Q与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）现已知容器内有水200升，先打开两个进水管和一个出水管一段时间，然后再关上一个进水管，直至把容器放满水，若总共用时不超过8分钟。请问，在这个过程中同时打开两个进水管和一个出水管的时间至少是多少分钟？

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自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 $AB = 200$ 米，坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ；将斜坡 $AB$ 的高度 $AE$ 降低 $AC = 20$ 米后，斜坡 $AB$ 改造为斜坡 $CD$ ，其坡度为 $1 : 4$ ．求斜坡 $CD$ 的长．（结果保留根号）

题型：未知
难度：未知

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已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 \\ x - 2 y = k \end{matrix}$ 的解满足 $x > y$ ，求 $k$ 的取值范围．

题型：未知
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（1）方法选择

如图①，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $AB = BC = AC$ ．求证： $BD = AD + CD$ ．

小颖认为可用截长法证明：在 $DB$ 上截取 $DM = AD$ ，连接 $AM \dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $CD$ 至点 $N$ ，使得 $DN = AD \dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = AC$ ．试用等式表示线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ABC = 30 °$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　 $BD = \sqrt{3} CD + 2 AD$ 　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC : AC : AB = a : b : c$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　　．

题型：未知
难度：未知

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如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 10 cm$ ， $E$ 为对角线 $BD$ 上一动点，连接 $AE$ ， $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ AE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ． $E$ 点从 $B$ 点出发，沿着 $BD$ 方向以每秒 $2 cm$ 的速度运动，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，运动停止．设 $ΔBEF$ 的面积为 $yc m^{2}$ ， $E$ 点的运动时间为 $x$ 秒．

（1）求证： $CE = EF$ ；

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔBEF$ 面积的最大值．

题型：未知
难度：未知

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在画二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{甲}$	$\dots \dots$	6	3	2	3	6	$\dots \dots$

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	$\dots \dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{乙}$	$\dots \dots$	$- 2$	$- 1$	2	7	14	$\dots \dots$

通过上述信息，解决以下问题：

（1）求原二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的表达式；

（2）对于二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，当 $x$ 　 $⩾ - 1$ 　时， $y$ 的值随 $x$ 的值增大而增大；

（3）若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = k (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围．

题型：未知
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