如图, 在中, 是边上的一点, 是的中点, 过点作的平行线交的延长线于点, 且, 连接.(1) 求证: 是的中点;(2) 若, 试判断四边形的形状, 并证明你的结论.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且点的坐标为点在这条抛物线上,且不与两点重合,过点作轴的垂线与射线交于点,以为边作使点在点的下方,且设线段的长度为,点的横坐标为.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)求与之间的函数关系式;(3)当的边被轴平分时,求的值;(4)以为边作等腰直角三角形,当时,直接写出点落在的边上时的值.
如图①,一次函数的图象与二次函数的图象相交于A,B两点,点A,B的横坐标分别为m,n(m<0,n>0). (1)当m=﹣1,n=4时,k= ,b= ; 当m=﹣2,n=3时,k= ,b= ; (2)根据(1)中的结果,用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论; (3)利用(2)中的结论,解答下列问题:如图②,直线AB与x轴,y轴分别交于点C,D,点A关于y轴的对称点为点E,连接AO,OE,ED. ①当m=﹣3,n>3时,求的值(用含n的代数式表示); ②当四边形AOED为菱形时,m与n满足的关系式为 ; 当四边形AOED为正方形时,m= ,n= .
两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2). (1)当点C落在边EF上时,x= cm; (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.
如图①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是,由弧长l=,得=••R=lR.通过观察,我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高.类比扇形,我们探索扇环(如图②,两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环)的面积公式及其应用.(1)设扇环的面积为S扇环,的长为,的长为,线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差).类比S梯形=×(上底+下底)×高,用含,,h的代数式表示S扇环,并证明;(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园,线段AD的长h为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点C在x轴正半轴上,顶点B在第一象限,过点B作BD⊥y轴于点D,线段OA,OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根,BC=4,∠BAC=45°.(1)求点A,C的坐标;(2)反比例函数y=的图象经过点B,求k的值;(3)在y轴上是否存在点P,使以P,B,D为顶点的三角形与以P,O,A为顶点的三角形相似?若存在,请写出满足条件的点P的个数,并直接写出其中两个点P的坐标;若不存在,请说明理由.