学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.
(1)有三个不等式 2 x + 3 < - 1 , - 5 x > 15 , 3 ( x - 1 ) > 6 ,请在其中任选两个不等式,组成一个不等式组,并求出它的解集;
(2)小红在计算 a ( 1 + a ) - ( a - 1 ) 2 时,解答过程如下:
a ( 1 + a ) - ( a - 1 ) 2
= a + a 2 - ( a 2 - 1 ) … … 第一步
= a + a 2 - a 2 - 1 … … 第二步
= a - 1 … … 第三步
小红的解答从第 步开始出错,请写出正确的解答过程.
已知抛物线: y = a x 2 - 3 ax - 4 a ( a > 0 ) 与 x 轴交点为 A , B ( A 在 B 的左侧),顶点为 D .
(1)求点 A , B 的坐标及抛物线的对称轴;
(2)若直线 y = - 3 2 x 与抛物线交于点 M , N ,且 M , N 关于原点对称,求抛物线的解析式;
(3)如图,将(2)中的抛物线向上平移,使得新的抛物线的顶点 D ' 在直线 l : y = 7 8 上,设直线 l 与 y 轴的交点为 O ' ,原抛物线上的点 P 平移后的对应点为点 Q ,若 O ' P = O ' Q ,求点 P , Q 的坐标.
如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O ,已知 OA = OC , OB = OD ,过点 O 作 EF ⊥ BD ,分别交 AB 、 DC 于点 E , F ,连接 DE , BF .
(1)求证:四边形 DEBF 是菱形:
(2)设 AD / / EF , AD + AB = 12 , BD = 4 3 ,求 AF 的长.
某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电.有 A , B 两个焚烧炉,每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨,每焚烧一吨垃圾, A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电50度, A , B 焚烧炉每天共发电55000度.
(1)求焚烧一吨垃圾, A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度?
(2)若经过改进工艺,与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾, A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发电量分别增加 a % 和 2 a % ,则 A , B 焚烧炉每天共发电至少增加 ( 5 + a ) % ,求 a 的最小值.
如图, ⊙ O 与等边 ΔABC 的边 AC , AB 分别交于点 D , E , AE 是直径,过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F .
(1)求证: DF 是 ⊙ O 的切线;
(2)连接 EF ,当 EF 是 ⊙ O 的切线时,求 ⊙ O 的半径 r 与等边 ΔABC 的边长 a 之间的数量关系.