学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.
如图,抛物线 y = a x 2 + 3 2 x + c 与 x 轴交于点 A , B ,与 y 轴交于点 C ,已知 A , C 两点坐标分别是 A ( 1 , 0 ) , C ( 0 , − 2 ) ,连接 AC , BC .
(1)求抛物线的表达式和 AC 所在直线的表达式;
(2)将 ΔABC 沿 BC 所在直线折叠,得到 ΔDBC ,点 A 的对应点 D 是否落在抛物线的对称轴上,若点 D 在对称轴上,请求出点 D 的坐标;若点 D 不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点 P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接 AP 交 BC 于点 Q ,连接 BP , ΔBPQ 的面积记为 S 1 , ΔABQ 的面积记为 S 2 ,求 S 1 S 2 的值最大时点 P 的坐标.
如图,在 ΔABC 中, AB = AC , ⊙ O 是 ΔABC 的外接圆, AE 是直径,交 BC 于点 H ,点 D 在 AC ̂ 上,连接 AD , CD 过点 E 作 EF / / BC 交 AD 的延长线于点 F ,延长 BC 交 AF 于点 G .
(1)求证: EF 是 ⊙ O 的切线;
(2)若 BC = 2 , AH = CG = 3 ,求 EF 和 CD 的长.
如图,过 C 点的直线 y = − 1 2 x − 2 与 x 轴, y 轴分别交于点 A , B 两点,且 BC = AB ,过点 C 作 CH ⊥ x 轴,垂足为点 H ,交反比例函数 y = k x ( x > 0 ) 的图象于点 D ,连接 OD , ΔODH 的面积为6.
(1)求 k 值和点 D 的坐标;
(2)如图,连接 BD , OC ,点 E 在直线 y = − 1 2 x − 2 上,且位于第二象限内,若 ΔBDE 的面积是 ΔOCD 面积的2倍,求点 E 的坐标.
时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后,先从基地门口 A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑 B 处,再从 B 处向正东方向走到党史纪念馆 C 处,然后从 C 处向北偏西 37 ° 方向走200米到达人民英雄雕塑 D 处,最后从 D 处回到 A 处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 65 ° 方向,求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离(精确到1米).(参考数据: sin 37 ° ≈ 0 . 60 , cos 37 ° ≈ 0 . 80 , tan 37 ° ≈ 0 . 75 , sin 65 ° ≈ 0 . 91 , cos 65 ° ≈ 0 . 42 , tan 65 ° ≈ 2 . 14 )
如图,在四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,且 AO = CO ,点 E 在 BD 上,满足 ∠ EAO = ∠ DCO .
(1)求证:四边形 AECD 是平行四边形;
(2)若 AB = BC , CD = 5 , AC = 8 ,求四边形 AECD 的面积.