学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.
已知关于 x 的二次函数 y 1 = x 2 + bx + c (实数 b , c 为常数).
(1)若二次函数的图象经过点 ( 0 , 4 ) ,对称轴为 x = 1 ,求此二次函数的表达式;
(2)若 b 2 - c = 0 ,当 b - 3 ⩽ x ⩽ b 时,二次函数的最小值为21,求 b 的值;
(3)记关于 x 的二次函数 y 2 = 2 x 2 + x + m ,若在(1)的条件下,当 0 ⩽ x ⩽ 1 时,总有 y 2 ⩾ y 1 ,求实数 m 的最小值.
如图1, AB 是 ⊙ O 的直径,点 E 是 ⊙ O 上一动点,且不与 A , B 两点重合, ∠ EAB 的平分线交 ⊙ O 于点 C ,过点 C 作 CD ⊥ AE ,交 AE 的延长线于点 D .
(1)求证: CD 是 ⊙ O 的切线;
(2)求证: A C 2 = 2 AD ⋅ AO ;
(3)如图2,原有条件不变,连接 BE , BC ,延长 AB 至点 M , ∠ EBM 的平分线交 AC 的延长线于点 P , ∠ CAB 的平分线交 ∠ CBM 的平分线于点 Q .求证:无论点 E 如何运动,总有 ∠ P = ∠ Q .
已知锐角 ΔABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,边角总满足关系式: a sin A = b sin B = c sin C .
(1)如图1,若 a = 6 , ∠ B = 45 ° , ∠ C = 75 ° ,求 b 的值;
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池 ABC 中建一座小型景观桥 CD (如图2所示),若 CD ⊥ AB , AC = 14 米, AB = 10 米, sin ∠ ACB = 5 3 14 ,求景观桥 CD 的长度.
永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下,根据市场需求,计划在2022年将30亩土地全部用于种植 A 、 B 两种经济作物.预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多2万元,为实现2022年 A 种经济作物年总产值20万元, B 种经济作物年总产值30万元的目标,问:2022年 A 、 B 两种经济作物应各种植多少亩?
如图,已知点 A , D , C , B 在同一条直线上, AD = BC , AE = BF , AE / / BF .
(1)求证: ΔAEC ≅ ΔBFD .
(2)判断四边形 DECF 的形状,并证明.