解方程组:
如图,抛物线 y=−12x2+32x+2与 x轴交于 A、 B两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C.
(1)试探究 ΔABC的外接圆的圆心位置,求出圆心坐标;
(2)点 P是抛物线上一点(不与点 A重合),且 SΔPBC=SΔABC,求 ∠APB的度数;
(3)在(2)的条件下,点 E是 x轴上方抛物线上一点,点 F是抛物线对称轴上一点,是否存在这样的点 E和点 F,使得以点 B、 P、 E、 F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 F的坐标;若不存在,请说明理由.
如图, ∠MBN=90°,点 C是 ∠MBN平分线上的一点,过点 C分别作 AC⊥BC, CE⊥BN,垂足分别为点 C, E, AC=4√2,点 P为线段 BE上的一点(点 P不与点 B、 E重合),连接 CP,以 CP为直角边,点 P为直角顶点,作等腰直角三角形 CPD,点 D落在 BC左侧.
(1)求证: CPCD=CECB;
(2)连接 BD,请你判断 AC与 BD的位置关系,并说明理由;
(3)设 PE=x, ΔPBD的面积为 S,求 S与 x之间的函数关系式.
如图,一次函数 y=34x+6的图象交 x轴于点 A、交 y轴于点 B, ∠ABO的平分线交 x轴于点 C,过点 C作直线 CD⊥AB,垂足为点 D,交 y轴于点 E.
(1)求直线 CE的解析式;
(2)在线段 AB上有一动点 P(不与点 A, B重合),过点 P分别作 PM⊥x轴, PN⊥y轴,垂足为点 M、 N,是否存在点 P,使线段 MN的长最小?若存在,请直接写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
某网络经销商销售一款夏季时装,进价每件60元,售价每件130元,每天销售30件,每销售一件需缴纳网络平台管理费4元.未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降1元,通过市场调查发现,该时装单价每降1元,每天销售量增加5件,设第 x天 (1⩽且 x 为整数)的销量为 y 件.
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式;
(2)在这30天内,哪一天的利润是6300元?
(3)设第 x 天的利润为 W 元,试求出 W 与 x 之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大,最大利润是多少.
如图, ΔACE , ΔACD 均为直角三角形, ∠ ACE = 90 ° , ∠ ADC = 90 ° , AE 与 CD 相交于点 P ,以 CD 为直径的 ⊙ O 恰好经过点 E ,并与 AC , AE 分别交于点 B 和点 F .
(1)求证: ∠ ADF = ∠ EAC .
(2)若 PC = 2 3 PA , PF = 1 ,求 AF 的长.