已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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[江苏]2012年初中毕业升学考试（江苏连云港卷）数学

上一题

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

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如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．

（1）设北京时间为 $x$ （时 $)$ ，首尔时间为 $y$ （时 $)$ ，就 $0 ⩽ x ⩽ 12$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．

北京时间	$7 : 30$		$2 : 50$
首尔时间		$12 : 15$

（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为 $7 : 30$ ，那么此时韩国首尔时间是多少？

题型：未知
难度：未知

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某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“ $A$ ， $B$ ， $C$ ”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：

（1）抽取的学生中，训练后“ $A$ ”等次的人数是多少？并补全统计图．

（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“ $A$ ”等次的人数．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $O$ 为坐标原点，点 $B$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，点 $A$ 、 $C$ 在坐标轴上，点 $P$ 在 $BC$ 边上，直线 $l_{1} : y = 2 x + 3$ ，直线 $l_{2} : y = 2 x - 3$ ．

（1）分别求直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴，直线 $l_{2}$ 与 $AB$ 的交点坐标；

（2）已知点 $M$ 在第一象限，且是直线 $l_{2}$ 上的点，若 $ΔAPM$ 是等腰直角三角形，求点 $M$ 的坐标；

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对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$ 的斜平移，如点 $P (2, 3)$ 经1次斜平移后的点的坐标为 $(3, 5)$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）分别写出点 $A$ 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点为点 $B$ ，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点为点 $C$ ．

①若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不在同一条直线上，判断 $ΔABC$ 是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$ 由点 $A$ 经 $n$ 次斜平移后得到，且点 $C$ 的坐标为 $(7, 6)$ ，求出点 $B$ 的坐标及 $n$ 的值．

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（1）若固定三根木条 $AB$ ， $BC$ ， $AD$ 不动， $AB = AD = 2 cm$ ， $BC = 5 cm$ ，如图，量得第四根木条 $CD = 5 cm$ ，判断此时 $∠ B$ 与 $∠ D$ 是否相等，并说明理由．

（2）若固定二根木条 $AB$ 、 $BC$ 不动， $AB = 2 cm$ ， $BC = 5 cm$ ，量得木条 $CD = 5 cm$ ， $∠ B = 90 °$ ，写出木条 $AD$ 的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）

（3）若固定一根木条 $AB$ 不动， $AB = 2 cm$ ，量得木条 $CD = 5 cm$ ，如果木条 $AD$ ， $BC$ 的长度不变，当点 $D$ 移到 $BA$ 的延长线上时，点 $C$ 也在 $BA$ 的延长线上；当点 $C$ 移到 $AB$ 的延长线上时，点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 能构成周长为 $30 cm$ 的三角形，求出木条 $AD$ ， $BC$ 的长度．

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